2. Системы линейных ур-ий, их виды. Равносильные системы линейных ур-ий. Метод исключения неизвестных, критерий совместности и неразрешимости.

О пр. Под системой линейных уравнений с n-неизвестными понимают высказывание (предикат) вида

α₁₁x₁+…+ α_1nx_n=β_1,

………………….. (1)

α_m1x₁+…+ α_mnx_n=β_m, где a_ik,β_i F

Под решением (корнем) СЛУ (1) поним. упорядоченный набор n чисел , при подстановке кот. каждое ур-е вместо соотв. перем. получ. верное рав-во (т.е. удовл. каждому ур-ю).Решить СЛУ означает: найти все решения, если они сущ., или установить, что их нет.Сист. наз. разрешимой (совместной), если она имеет хотя бы 1 реш.; в противн. сл. наз. неразрешимой.

Говорят, что СЛУ приведена к единому базису, если она имеет вид

Здесь x₁,…,x_S – базисные неизвестные, остальные x_s+1,…,x_n- свободные неизвестные. Мн-во решений записывается в 2 этапа: 1) выраж. базисные неизвестные через свободные; 2) ответ:

X= { =( δ₁-( ), δ₂-( ), …, δ_s-( ); x_s+1,…,x_n), где x_s+1,…,x_n R}. Две СЛУ наз. равносильными, если каждое решение любой из этих систем яв-ся решением др. системы. СЛУ наз. следствием другой СЛУ, если каждое решение первой системы яв-ся решением второй.Критерий: СЛУ равносильны тогда, когда каждая из систем яв-ся следствием другой.Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений наз. след. преобразования:ЭП1: удаление уравнений вида 0∙х₁+…+0∙х_n = 0.ЭП2: перестановка местами уравнений.ЭП3: умножение уравнения на число ≠0.ЭП4: прибавление к некоторому уравнению другого, умноженного на некоторое число. Теорема (об ЭП): эл. преобр. ЭП1-ЭП4 не изм. мн-ва решений системы, т.е. преобр. ее в равносильную. Следствие: Если к одному из уравнений СЛУ прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится СУ, равносильная исходной.Следствие: Если исключить из СЛУ или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится СУ, равносильная исходной системе.

Метод Гаусса (метод основан на приведении СЛУ с помощью ЭП1-ЭП4 к единичному базису).

1) Выбираем разрешающее ур-е, кот. еще не было разрешающим, и выбираем в нем базисное неизвестное (с коэф. ≠0).2) С помощью ЭП1-ЭП4 исключаем выбранные базисные неизвестные из всех остальных. Допустим, что в системе (1) α_i1≠0

α ₁₁x₁+α₁₂x₂+…+α_1nx_n=β₁

α₂₁x₁+α₂₂x₂+…+α_2nx_n=β₂

……. (1)

α_k1x₁+α_k2x₂+…+α_knx_n=β_k

Используем элементарные преобразования, исключим х₁ из всех уравнений системы, кроме 1-го, для этого прибавим к i-тому уравнению 1-ое уравнение умноженное на

Получаем α₁₁х₁+α₁₂х₂+…+α_1nх_n=β₁

α₂₂x₂+……..…+α_2nx_n=β₂

……..

α_k2x₂+………..+α_knx_n=β_k

К оэффициенты α₂₂,…,α_k2 могут оказаться нулями. В общем виде система (1) примет следующий вид α₁₁x₁+α₁₂x₂+…+α_1nx₁=β₁

α_2tx_t+…………+α_2nx_n=β₂

_………..

α_ktx_t+………....+α_knx_n=β_k

Для этой системы не все α _2t,…, α _kt равны нулю.

Билет №25

1. Отношение делимости в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух нат. чисел. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух нат. чисел.

Опр. Целое число а делит число b, если  такое целое число сZ, такое что b=а·c (b-делимое, а-делитель, с-полное частное). (обозн. а|b).

Пример: 36|3, т.к.  такое целое число 12, что 36 можно представить 36=3·12.

Св-ва:

1. Отношение делимости рефлексивно: аZ а|а (любое целое число делится само на себя).

2. Отношение делимости транзитивно:  целых а,в,сZ а|в и в|с а|с.

3. Если а|b (-а)|b, a|(-b), (-a)|(-b).

Отношение делимости сохраняется при изменении знака делимого и делителя.

4. Если а|с и b|с, то сумма или разность тоже делится на с: а|с и в|с(ав)|с

5. Если а делится на с и b целое число, то произведение a·b тоже делится на с: a|c и bZ  (a·b)|c

6. Если а делится на с и b не делится на с, то сумма или разность не делится на с

(a|c и b не |с(ab) не |с).

7. Нуль делится на любое целое число неравное нулю (а|0, аZ).

8. Любое целое число делится на 1(1|a, аZ).

9. Если а≠0, то не  такого цел. числа q, что а=0·q, это значит, что а не равное нулю не делится на 0.

Опр. НОД чисел а₁,…,а_n, n≥2 наз. наибольший их общий делитель.

(НОД – общий делитель, кот. делится на любой общий делитель).

Лемма: Если a=bq+r, то НОД(a,b)=НОД(b,r).

Алгоритм Евклида

Пусть а, bN, b0. Осуществим деление с остатком по следующей схеме (делитель делим на остаток).

a =bq₀+r₁ 0r₁<|b|

b=r₁q₁+r₂, 0r₂<|r₁|

r₁=r₂q₂+r₃, 0r₃<|r₂| (*)

……………………

r _n-2=r_n-1q_n-1+r_n 0r₁<|r_n-1|

r_n-1=r_nq_n

По лемме: (a,b)=(b,r₁)=(r₁,r₂)=…=(r_n-1,r_n)=r_n.

Заметим, что процесс послед. деления по алгоритму Евклида конечен, т.к. конечна убывающая посл-ть.

НОД сущ. всегда. Он равен последнему остатку ≠0 по алгоритму Евклида.

Критерий НОД: Общий делитель d чисел а и b яв. НОД  u,v Z: d=au+bv.

Опр. Если (а,в) = 1, то числа а и b явл. взаимно простыми.

Критерий взаимной простоты двух натуральных чисел.

Для того чтобы числа а и b были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие целые числа u,v, что au+bv=1. (1)

↓(=>). Если числа а и b взаимно просты, то (а, b)=1. Тогда по т-ме (если d – НОД чисел а и b, то  такие целые числа u,v, что au+bv=d)  такие целые числа u,v, что au+bv=1.

(<=). Пусть  такие целые числа u и v, что имеет место равенство (1), и пусть (а, b)=d. Тогда (согласно св-ву 4 делимости) из (1) следует, что 1|d. Значит, d=1, т.е. числа а и b взаимно просты.↑

Опр. НОК чисел а и b наз. общее кратное, которое делит любое общее кратное этих чисел.

Обозн.: НОК[a,b] или [a,b].

Теорема. НОК двух чисел равен отношению произведению этих чисел и НОД, т.е. .

↓Пусть d=(a,b). Тогда a=a₁d, b=b₁d и (a₁,b₁). Пусть с-общее кратное а и b: c=aq=bt=a₁dq=b₁dt => a₁q=b₁t. Т.к. а₁ и b₁ – вз/прост. => b₁|q, т.е. q=b₁s. Т.о. c=a∙b₁∙s= ∙s, s≥1. ↑