1.Классификация движений второго рода плоскости, их применение к решению геом. Задач.

Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками и плоскости равно расстоянию между их образами и , т.е. . Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением. Будем говорить, что реперы и одинаково ориентированы (противоположно ориентированы), если базисы и одинаково ориентированы (противоположно ориентированы). Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости (меняет ориентацию плоскости), если любой репер и его образ одинаково ориентированы (противоположно ориентированы). Движения, меняющие ориентацию плоскости, называются движениями второго рода. Теорема. Если аналитическое выражение в ортонормированном репере имеет вид: , где ортогональная матрица, то - движение. При этом, если , то - движение первого рода, а если , то - движение второго рода. Здесь . Примеры движений второго рода: 1) На плоскости возьмем прямую и каждой точке поставим в соответствие точку , симметричную точке относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе относительно этой прямой. Мы получаем преобразование плоскости , которое называется осевой симметрией. Прямая называется осью симметрии. Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого выберем на плоскости прямоугольную систему координат (см. рис.), и запишем аналитическое выражение осевой симметрии. Пусть - произвольная точка плоскости, а - ее образ. Т.к. точки и симметричны относительно оси абсцисс, то . По теореме осевая симметрия является движением второго рода. 2) Скользящая симметрия плоскости – это композиция осевой симметрии и параллельного переноса вдоль ее оси. Аналитическое выражение: . Лемма. Если движение луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо отражение от прямой, содержащей этот луч. Классификация движений второго рода. Уравнения для нахождения координат неподвижных точек движения второго рода: . Определитель этой системы при любом равен нулю, и не все коэффициенты при и равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. 1) Движение имеет прямую инвариантных точек. Пусть - какой-нибудь луч этой прямой. Т.к. , то по лемме - либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому - осевая симметрия. 2) Движение не имеет инвариантных точек. Выберем ортонормированный репер так, чтобы точки и лежали на инвариантной прямой . Пусть . Если точка имеет координаты , то точка имеет координаты . Предположим, что аналитическое выражение движения в репере имеет вид: . Из условий получаем: , поэтому формулы принимают вид: . Докажем, что , где – параллельный перенос на ненулевой вектор , а - отображение от прямой . В самом деле, преобразования и в репере определяются формулами: поэтому отображение определяется формулами . В этом случае движение называется скользящей симметрией. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.