2. Отношение сравнения целых чисел, свойства. Сравнения первой степени.

Под модулем будем понимать натуральное число m>1.

Говорят число а сравнимо с числом b по модулю m, если m|b-a, запис. a≡b(mod m).

Критерий срав-ния: 1) a≡b(mod m); 2) a=b+km для некот. ; 3) а и b-равноостаточны при дел. на m.

Свойства: 1) Отн. сравнения чисел по модулю яв. отн. эквивалентности (рефлекс., транзит., симметр.)

1. Сравнения можно почленно складывать: a+c≡b+d(mod m).

2. Обе части сравнения можно умножать на число: .

3. Одну часть сравнения можно перенести в др. с противоположным знаком.

4. Сравнения можно почленно умножать: a∙c≡b∙d(mod m).

Следствие: Обе части сравнения можно возводить в ст. с натур. показателем. .

5. Обе части сравнения можно делить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.

Т.е. если d|a и d|b и (d, m)=1, то .

6. Обе части сравнения и модуль м. сократить на общий делитель, т.е. если d|a, b, m, то

Сравнением первой степени наз. сравнение вида aх≡b(mod m). (1)

Решением (1) наз. число (вычет) -верно.

Из свойств сравнения => х₀-реш., то также яв. решением.

Сл-но мн-во всех решений (1) распадается на классы вычетов по модулю.

Под числом решений (1) поним. число классов вычетов, на кот. распадается мн-во всех решений.

Пусть d=(a, b)d=(a, b).

Сл.1. d не |b. Тогда (1) не имеет решений.

Сл. 2. d|b. Тогда (1) равносильна: a₁х≡b₁(mod m₁), где . (3)

.

Мн-во Х разбивается на d классов по модулю m=m₁d:

Теорема (о решении): Пусть Тогда:

1) если d не |b, то сравнение не разрешимо.

2) если d|b, то число решений сравнения равно d: ,

где х₀-решение сравнения .

Полной сист. вычетов по модулю m наз. мн-во вычетов, взятых по одному из каждого класса вычетов.

Критерий ПСВ (основное свойство ПСВ): Совокупность из m вычетов образует ПСВ по модулю m  вычеты попарно несравнимы по модулю m.

Теор. о ПСВ:

Пусть (а, m)=1 и пусть х-пробегает ПСВ по модулю m. Тогда y=ax+b, также пробегает ПСВ.

↓Пусть x₁, x₂,…,x_m – ПСВ по модулю m. Тр. д-ть, что y₁,…,y_m, где y_i=ax_i+b, i=1,…,m образует ПСВ.

В силу критерия ПСВ дос-но пок-ть, что они попарно несравнимы по модулю m.

Д-но, если , , что противоречит условию. Т.о., y₁,…,y_m – попарно несравнимы, и по критерию образуют ПСВ.↑

Билет №17

1. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф-ций комплексной переменной. Понятие аналитической ф-ции в точке и в области.

Пусть явл-ся однозначной. Рассмотрим некот.т. и сдвинемся от нее в произв.направлении в близк.т - приращение аргумента, , Найдем разность и назовем приращением ф-ии.Если сущ. , то наз.производной ф-ии в т. .Т.: Пусть однозначна и определена в окрестности т. . Тогда ф-ия дифференцируема в т. дифференц. в т. ( и в этой точке вып-ся усл-ия Коши-Римана:

В случае сущ.производной

↓1)(⇒) Предположим, что сущ. справедливо

; ; - некот. число . Тогда . Открыв скобки, получаем: -б/м;

⇒по опред.дифференц. ф-ии действит.переменных - диф.в т. ( ,

Т.о. получили

2) (достаточность) - диф.в т. ( и вып-ся . Тогда ; , бесконечно малые при .

Если все произведение будет б/м более высокого порядка, чем

Однозначная ф-ия наз.аналитической в т. , если она дифференц.в этой т. и диф.во всех точках нек.окр-ти т. . Однозначная ф-ия наз.аналитической в области D, если она явл-ся аналитич. в любой точке этой области. Мн-во D наз-ся областью аналитичности.Например, e^z и zⁿ (nєN) явл-ся аналитической на всей комплексной обл-ти.

2. Группа движений плоскости и некоторые её подгруппы, применение движений к решению задач элементарной геометрии.

Движением наз. такое преобразование плоскости, при котором сохраняется расстояние между двумя точками: - движение, если и их образов . Непустое множество называется группой, если в этом множестве определена операция , удовлетворяющее следующим условиям: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . - симметричный элемент. D – множество всех движений плоскости. Теорема. Множество всех движений плоскости является группой. Т.к. D – подмножество группы всех преобразований плоскости, то для доказательства теоремы достаточно проверить 1 и 4 аксиомы группы. 1) , т.к. - движение (1). , т.к. - движение (2). и имеют равенства (1) и (2), откуда следует, что , т.е. сохраняет расстояние => является движением. 4) (3). При и имеет место равенство (3) => при сохраняются расстояния => - движение. Вывод: D – группа движений плоскости. Те свойства фигуры, которые сохраняются при всех движениях, называются инвариантами группы D. Рассмотрим важнейшие подгруппы группы D и инварианты этих подгрупп, которые не являются инвариантами группы D. 1) Обозначим через множество всех движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что если , то и . Значит, - подгруппа группы D. Она называется группой движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости, т.е. переводит любой репер в репер той же ориентации. Поэтому ориентация репера – инвариант группы D. Отметим, что множество движений второго рода не является группой. В самом деле, если и - движения второго рода, то - движение первого рода, поэтому . 2) Пусть - множество всех движений первого рода, для которых - неподвижная точка. Очевидно, . Если , то ясно, что и . Значит, - подгруппа группы . Эта группа состоит из всех вращений вокруг точки . Она называется группой вращения плоскости вокруг точки . Расстояние от произвольной точки до центра вращения является инвариантом группы . 3) Рассмотрим множество , состоящее из всех параллельных переносов. Очевидно, . Пусть и – параллельные переносы с векторами переносов и . Нетрудно видеть, что если , то . Таким образом, - параллельный перенос на вектор . Далее, т.к. преобразование - параллельный перенос, то . Но тогда , т.е. - параллельный перенос на вектор . Таким образом, если , то и . Этим доказано, что - подгруппа группы ; она называется группой переносов плоскости. Инвариантом этой группы является, например, направление. 4) Группы симметрий фигур. Пусть - произвольная фигура на плоскости. Всякое движение плоскости наз. преобразованием симметрии фигуры , если при этом движении фигура переходит сама в себя. Очевидно, множество всех движений плоскости, при которых , является группой. Действительно, пусть - множество движений 1) . 4) Если , то

Применение движений к решению задач.Дано: а,в,с– параллельные прямые. Построить равносторонний треугольник АВС.

в В

а А

с С

1. Анализ.Пусть ∆АВС искомый, тогда В в, С с, АВ=АС,ÐВАС=60˚. Поэтому : В→С, но В в, следов-но С в’, где в’= .Кроме того, С с, т.е. С в’,с.

2. Построение 1. Надо строить прямую в’= 1.1 AK┴в, к в1.2 К’= 1.3 в’: К’ в’, в’┴AK’2. 3. 4. ∆АВС искомый

3. док-во1. ∆АВС правильный, т.к. АВ=АС, ÐСАВ=60 2. С с (по построению)3. С в’, : С→В, в’→в и С в’Из всего следует В в

4.Исследование.Задача имеет 2 решения, т.к. прямая в может поворачивать на Ð+60 и -60

Хотя ∆АВС = ∆А₁ В₁ С₁, но это разные решения, т.к. они занимают разные положения от-но а,в,с.

Билет №18