1. Достаточное условие существования определенного интеграла.

Теорема1 Если f(x)интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на [a;b]. (Необходимый признак интегрируемости ф-ии, обратное неверно)След-ие Если f(x) неогранич. на отрезке [a;b] то f(x) не интегр-ма на отрезке [a;b]. Пусть f(x) определена и ограничена на[a;b], разобъем [a;b] на n частичных отрезков a=x₀<x₁<x₂<…<x_k-1 < x_k<…<x_n=b.Положим М_к=supE(f), m_k=infE(f) на [х_к-1,х_к] Эти грани существуют. Если числовое множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань, а если снизу, то точную нижнюю грань.Опр. , наз-ся верхней и нижней интегр-ой суммами или верхней и нижней суммами Дарбу. Эти суммы зависят только от разбиения. Они похожи на обычные интегральные суммы , но вообще не являются частным случаем обычной интегральной суммы, т.к. числа М_к и m_k могут не быть значениями ф-ии. Но в частном случае, когда ф-ия непрерывна на [a,b] они являются частными случаями обычной интегральной суммы, т.к. если ф-ия непрерывна на [a,b], то она имеет на ней наибольшее и наименьшее значение (Теорема Больцано-Вейерштрассе).Теорема2: Для того чтобы f(x) была интегрируема на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы

(без док-ва критерий интегрируемости по Риману)Теорема3 Если f(x)непрерывна на отрезке [a;b], то f(x)интегрируема на отрезке [a;b].(можно д-ть Т4,а можно Т3).

Док-во: Если ф-ия Х непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора о равномерной непрерывности

Здесь δ зависит только от ε и следовательно число δ обслуживает все пары точек х’ и x” из Х. В данном сл. роль Х играет [a;b]. , если Т.к. М_к и m_к являются значениями ф-ии на [x_k-1,x_k] в силу непрерывности ф-ии, то такие, что f(x_k’)=M_k, f(x_k”)= m_kТогда Применим для если т.е.

Вернемся к S-s. Вместо |x_k’-x”_k|<δ можно писать λ<δ

Отсюда следует по Т2 f(x) интегрируема на [a;b]

Теорема4 Если f(x) монотонна и ограничена на [a;b] , то она интегрируема на [a;b]

↓Пусть явл.неубывающей. Это значит, что , т.е. - ограничена на вып.необходимое условие интегрируемости: если интегрир.на , то она ограничена на этом отрезке. Пусть - произв.разбиение с диаметром разбиения d. Тогда на каждом частичном отрезке Тогда Возьмем произв. и определим

; . В силу критерия интегрир.по Риману это означает, что – интегрируема. ↑Теоремы 3,4 являются только достаточными признаками интегрируемости функции, т.к. предложения обратные Т3 и Т4 не верны: теорема обратная Т3- потому что верна Т4, и теорема обратная Т4 – потому что верна Т3.

2. Эллипс,гипербола,парабола. Вывод канон.Ур-ия, изучение формы.

п.1. Определения эллипса, гиперболы, параболы.

• Эллипсом называют множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до 2-х данных точек и есть величина постоянная, большая, чем расстояние между и . Элементы : Точки и называются фокусами, а - фокальным расстоянием. Обозначим через сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов, а через . По определению . Уравнение:

• Гиперболой называется множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2-х данных точек и - есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между и . Обозначим через модуль разности от любой точки гиперболы до фокусов, а через . По определению . Уравнение: .

• Параболой называется множество всех тех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой , которая не проходит через .

Элементы: - фокус параболы, - директрисса, - фокальный параметр параболы.

Уравнение: .

п.2. Вывод канонического уравнения эллипса.

Обозначим через сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов, а через .

По определению

Найдем уравнение эллипса.

1. Выберем ПДСК (правая), начало координат т. О – середина , ось Ох – прямая , , , , .

2. Пусть - текущая точка эллипса , т.е. : (*)

3. Условие (*) записывается в координатах: .

4. Упростим полученное уравнение:

возводим в квадрат

, введем обозначение: (1) – каноническое уравнение эллипса.

п.3. Изучение геометрических свойств линии по их каноническим уравнениям.

Эллипс:

1. Прохождение через начало координат: т. т.к.

2. Пересечение с осями: и .

и .

• Точки пересечения с каноническими осями координат называются его вершинами.

•Числа а и b называются полуосями эллипса.

3. Симметричность. Т.к. переменные х и у входят в уравнение эллипса в четной степени, то эллипс симметричен относительно Ох и Оу. Эллипс так же симметричен относительно начала координат, т.к. при замене х на (-х) уравнение не изменится.

Гипербола:

1. Прохождение через начало координат: т. т.к.

2. Пересечение с осями: и .

Решений нет, следовательно, и точек пересечения с осью Oy.

3. Симметричность. Т.к. переменные х и у входят в уравнение гиперболы в четной степени, то гипербола симметрична относительно Ох и Оу. Эллипс так же симметричен относительно начала координат, т.к. при замене х на (-х) уравнение не изменится.4. Асимптоты гиперболы – 2 прямые и .Выясним расположение гиперболы относительно асимптоты.

, , очевидно, что прямая расположена выше гиперболы. при возрастании x уменьшается точки гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам, не пересекая ее. В силу симметричности теми же свойствами обладает и вторая асимптота.

Парабола:

1. Прохождение через начало координат: т. т.к. .

2.  Пересечение с осями: пересекает оси в начале координат - вершина.

3. Симметричность. Т.к. переменная у входит в уравнение параболы в четной степени, то парабола симметрична относительно Ох, но не симметрична относительно Оу и начала координат.

п.4. Изображение линии относительно канонической системы координат.

Эллипс: т.к. линия имеет 2 оси симметрии и цент симметрии, то для построения достаточно изображать часть линии, расположенной в 1 координатной четверти.

Из уравнения эллипса следует, что и и

все точки эллипса лежат внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Из (1) . Для 1 четверти: , если ,

. Т.о. при возрастании х от 0 до а, у убывает от b до 0.

•Эксцентриситет - число, равное , где - большая полуось, .

Для эллипса . , т.е. эллипс сплющивается.

 Директрисы эллипса – 2 прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстояние . , т.к. то , поэтому директрисы лежат вне эллипса.

Гипербола: Если на оси Oy отметить т. и т. , то - мнимая ось гиперболы , - действительная ось гиперболы. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 2a и 2b и с центром в начале координат. При этом, диагонали прямоугольника – асимптоты гиперболы.

Из уравнения гиперболы, следует, что . Т.о. между точек гиперболы нет, значит она состоит из 2 ветвей.

•Эксцентриситет - число, равное , где - действительная полуось,

Для гиперболы . , т.е. гипербола расширяется.

 Директрисы гиперболы – 2 прямые, параллельные ее мнимой оси и отстоящие от нее на расстояние . т.к. то , следовательно директрисы расположены внутри полосы, меджу x=a и x=– a.

Парабола:Выбираем ПДСК. т. - середина , , ,

т. - текущая точка параболы, , .

 Эксцентриситет параболы по определению и в силу геометрического смысла эксцентриситета для .

п.5. Связь темы со школьным курсом геометрии.

В школьном курсе изучается парабола, но с вертикальной осью симметрии, а также равносторонняя гипербола, как частный случай гиперболы. Окружность, как частный случай эллипса. В физ.-мат. классах изучаются все известные кривые.

Билет №12