42. Поняття статистичної гіпотези.

Нехай у (статистичному) експерименті спостерігається реалізація деякої випадкової величини X, розподіл якої невідомий повністю чи частково. Тоді будь-яке твердження, що стосується , називається статистичною гіпотезою. Гіпотези розрізняються за видом припущень, що містяться в них:

• Статистична гіпотеза, що однозначно визначає розподіл , тобто , де якийсь конкретний закон, що має назву простий.

• Статистична гіпотеза, що стверджує, що розподіл належить до деякої сім'ї розподілів, тобто виду , де - сім'ю розподілів, що має назву складна.

На практиці зазвичай потрібно перевірити якусь конкретну і, як правило, просту гіпотезу H₀. Таку гіпотезу прийнято називати нульовою. При цьому паралельно розглядається гіпотеза, що протирічить їй H₁, що називається конкуруючою або альтернативною.

Висунута гіпотеза потребує перевірки, яка здійснюється статистичними методами, тому гіпотезу називають статистичною. Для перевірки гіпотези використовують критерії, що дозволяють прийняти або спростувати гіпотезу.

В більшості випадків статистичні критерії засновані на випадковій вибірці фіксованого об'єму з розподілу . У послідовному аналізі вибірка формується в ході самого експерименту і тому її об'єм є випадковим величиною.

[ред.] Приклад

Нехай дано незалежну вибірку з нормального розподілу, де μ — невідомий параметр. Тоді , де μ₀ — фіксована стала, є простою гіпотезою, а альтернативна до неї — складною.

Етапи перевірки статистичних гіпотез

1. Формулювання основної гіпотези H₀ і конкуруючої гіпотези H₁. Гіпотези повинні бути чітко формалізовані в математичних термінах.

2. Задання вірогідності α, що називається рівнем значущості і що відповідає помилкам першого роду, на якому надалі і буде зроблений висновок про правдивість гіпотези.

3. Розрахунок статистики φ критерію такий, що:

   • її величина залежить від початкової вибірки ;

   • по її значенню можна зробити висновки про істинність гіпотези H₀;

   • сама статистика φ повинна підкорятися якомусь невідомому закону розподілу, так як сама φ є випадковою в силу випадковості .

4. Побудова критичної області. З області значень φ виділяємо підмножину таких значень, по яким можна судити про суттєвість розбіжностей з припущенням. Її розмір вибирається таким чином, щоб виконувалась рівність . Ця множина і називається критичною областю.

5. Висновок про істинність гіпотези. Спостережувані значення вибірки підставляються в статистику φ і по попаданню (або непопаданню) в критичну область виноситься ухвала про відкидання (або ухвалення) висунутої гіпотези H₀.

Види критичної області

• Д вобічна критична область визначається двома інтервалами , де знаходять з умов .

 Лівобічна критична область визначається інтервалом , де x_α знаходять з умови P(φ < x_α) = α.

 Правобічна критична область визначається інтервалом , де x_{1 − α} знаходять з умови P(φ < x_{1 − α}) = 1 − α.

 2. Поняття статистичної гіпотези та її вигляд                                              Статистичною  гіпотезою називається будь-яке  твердження  про вигляд   або   властивості   розподілу  випадкових   величин,   що спостерігаються  в експерименті. Правило, згідно з  яким  гіпотеза Н0,  що  перевіряється,  приймається чи відхиляється,  називається статистичним   критерієм  для  перевірки  гіпотези  Н0.   Наведемо декілька прикладів статистичних гіпотез.      1. Гіпотеза про вигляд розподілу. Нехай о = (о1, о2, ..., оn) —  вибірка з генеральної сукупності з невідомою функцією розподілу Fо(х).  Тоді  Н0: Fо(х) = F(X), де F(x) повністю задана,  або  Н0: Fо(х)  є  М,  де М = {Fо(х, и), и є И} — задане сімейство  функцій розподілу.      2.  Гіпотеза однорідності. Нехай маємо k вибірок о = (о1, о2, ..., оn), і = 1, k з генеральних сукупностей з функціями розподілу Fі(х),  і  =  1,  k. Потрібно перевірити гіпотезу про  те,  що  це спостереження над однією і тією ж випадковою величною,  тобто  Н0: F1(х) ? F2(х) ? ... ? Fk(x).      3.   Гіпотеза  незалежності.  Одночасно  спостерігаються  дві випадкові  величини о та з, F(о,з)(х, у) — невідома  їхня  сумісна функція розподілу. Потрібно перевірити гіпотезу про те, що о та  з —  незалежні випадкові величини, тобто Н0: F(о,з)(х, у)  =  Fо,(х) Fз(у).