1.1. Принцип модульності

Принцип модульності полягає у тому, що програма розбивається на логічно незалежні частини (модулі), які дотримуються зв’язків. Історично поняття модульної програми виникло раніше, ніж були сформульовані принципи структурного програмування, проте ця ідея виявилася просто необхідною складовою нової технології програмування разом з аналітичним проектуванням.

Поняття модуля цілком логічно з’являється на відповідному етапі аналітичного програмування: модуль – це частина програми, яка розв’язує порівняно нескладну задачу, логічно незалежну від інших задач.

Зовсім просто: модулі – це підпрограми (процедури або функції), які мають певні властивості.

Деякі необхідні властивості модуля:

1) єдиний вхід, єдиний вихід (деякі мови дозволяють існування декількох входів або виходів);

2) окрема компіляція;

3) кожний модуль доступний за своїм ідентифікатором;

4) модуль може викликати інший модуль;

5) модуль не повинен зберігати історію своїх викликів (інакше може виникати так званий побічний ефект);

6) модуль порівняно невеликий;

7) кожен модуль відповідає лише одній задачі;

8) незалежність функціонування (заміна модуля на аналогічний не впливає на всю програму).

З часом, коли принцип модульності став підтримуватись мовами програмування, на перший план висунулась вимога логічної та програмної незалежності модуля.

Слід зауважити, що повної незалежності між модулями бути не може. Залежність між модулями існує:

- через списки параметрів;

- тоді, коли вони користуються спільними (глобальними) змінними;

- всі модулі програми залежать від структури даних цієї програми;

- модулі залежать від логіки функціонування програми (від того фактору, що модуль може викликатися іншими модулями).

Отже, модулі повинні бути незалежні в межах інтерфейсу програми і структури даних. Практика показала, що чим вищий степінь незалежності модулів, тим простіше розібратись в окремих модулях і в програмі в цілому; тим менша ймовірність з’явлення нових помилок при виправленні старих, або внесенні змін в програму, тобто менша ймовірність так званого хвильового ефекту.

Із сказаного вище випливає, що не слід без крайньої необхідності використовувати в модулях глобальні змінні. Всі зв’язки між модулями повинні підтримуватися через списки параметрів.

Білет7

1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.

Нехай дано функцію f(x), означену в проміжку <a;b>і потрібно знайти функцію F(x) ,похідна від якої в кожній точці x <a;b> дорівнює f(x), тобто F’(x)=f(x) для всіх x <a;b>. Функція F(x), означена в проміжку <a;b>, похідна від якої в усьому цьому проміжку дорівнює функції f(x), називається первісною.

Теорема 1.Якщо функція F(x) є яка-небудь первісна для функції f(x) в проміжку <a;b>, то множина всіх первісних для цієї функції f(x) в цьому проміжку <a;b> міститься в формулі

де С- довільна стала.

Доведення. .Припустимо тепер, що – довільна первісна для f(x) в проміжку <a;b>. Тоді функція

в проміжку <a;b> має похідну що дорівнює нулю. За відомою теоремою, ця функція –тотожна сталій в цьому проміжку. Отже, тобто довільна первісна міститься в формулі (1).

Невизначений інтеграл. Множина всіх первісних функцій f(x), означеної в проміжку <a;b>, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) в цьому проміжку і позначається

Якщо F(x)- яка-небудь первісна для функції f(x) в проміжку <a;b>, то, внаслідок теореми 1, множину всіх її первісних у цьому проміжку, тобто невизначений інтеграл від функції f(x), запишемо у вигляді

(2)

Знак називається знаком невизначеного інтеграла, f(x) -підінтегральна функція, -підінтегральний виразом.

Властивості невизначеного інтеграла:

а) похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

б) диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруванням цієї функції. Отже, інтегрування є операцією, оберненою диференціюванню.

Таблиця основних інтегралів.

Метод розкладу при відшуканні неозначеного інтегралу.

1. Якщо функції мають первісні на проміжку <a;b>, то функції мають первісні в цьому проміжку, причому правильна рівність (1).

Справді нехай

Поклавши для маємо

Таким чином, ліва частина рівності (1) складається з функцій вигляду а права частина цієї рівності –з функцій вигляду

У зв’язку з довільністю сталих, ці сукупності функцій збігаються, тобто правильна рівність (1).

2. Якщо функція f(x) має первісну в проміжку <a;b>, то в цьому проміжку має первісну і функція , причому при правильна рівність

(2)

Дійсно, нехай

Тоді для маємо

Тобто первісна для в проміжку <a;b>,тому

Ліва частина рівності (2) складається є функцій вигляду а права частина цієї рівності – з функцій вигляду

Тоді

де сталі, відмінні від нуля, а функції мають первісну в проміжку <a;b>.

Метод підстановки. Якщо є первісна для функції f(x) в проміжку <a;b> і якщо функція диференційована в проміжку , причому складна функція означена в проміжку , то функція в проміжку має первісну, причому

(4)

Оскільки функція означена в тому ж проміжку <a;b>, що й функція f(x), і оскільки складна функція означена в проміжку , то в проміжку буде означена й складна функція . За правилом диференціювання складної функції для маємо

Тобто - первісна для функції в проміжку .

Цим рівність (4) доведена.

Метод інтегрування за частинами. Якщо функції диференційовані в проміжку <a;b> і в цьому проміжку існує первісна для функції , то в проміжку <a;b> існує первісна і для функції і має місце рівність

(6)

Для доведення цього твердження знайдемо похідну від добутку .Для маємо

Таким чином, функція є одна з первісних для функції в проміжку <a;b>. Оскільки первісна для функції в проміжку <a;b> також існує (за умовою), то в цьому проміжку <a;b> існуватиме первісна і для функції причому, внаслідок (1),

І рівність (6) доведена.

Формула (6) називається формулою інтегрування за частинами