17.3. Продольная и поперечная деформации. Закон Гука. Модуль упругости. Коэффициент Пуассона
Вопрос об определении нормальных напряжений теснейшим образом связан с расчетами бруса на прочность. Умение вычислять деформации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость, а также для определения сил в статически неопределимых системах.
Выделим из бруса, изображенного на рис. 17.7 бесконечно малый элемент длиной dz.
Отношение приращения (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией:
(17.2)
Очевидно, продольная деформация – безразмерная величина. В некоторых случаях ее выражают в процентах. При растяжении продольную деформацию считают положительной, а при сжатии – отрицательной.
Отношение
изменения
размера поперечного сечения к его
первоначальному значению называют
относительным
поперечным сужением
(расширением),
или поперечной
деформацией:
(17.3)
Продольную и поперечную деформации называют также линейными деформациями.
В известных пределах нагружения между (деформацией) и соответствующим (действующим в ее направлении) напряжением существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость.
Это положение носит название закона Гука и записывается в виде
(17.4)
Коэффициент пропорциональности E называют модулем продольной упругости (модуль упругости 1-го рода; модуль Юнга). Е имеет ту же размерность, что и напряжение, т.е. выражается в Па или МПа.
Модуль продольной упругости – физическая постоянная данного материала, характеризующая его жесткость. Чем жестче материал, тем меньше он деформируется при данном напряжении.
Опытным путем установлено, что при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной – величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по абсолютному значению, называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона;
(17.5)
Значения коэффициента Пуассона для различных материалов находятся в пределах от 0 до 0.5.
Минимальное
значение коэффициент Пуассона имеет
для пробки (
= 0); максимальное – для каучука (
0.5).
Для большинства металлов и сплавов
значение коэффициента Пуассона колеблется
в сравнительно узких пределах: от 0.23 до
0.35 (в среднем примерно 0.3).
Вопрос об определении изменения длины (удлинения или укорочения) бруса. Удлинение или укорочение равно:
(17.6)
Выражение (17.6) часто называют формулой Гука, а произведение Е∙А условно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии).
Понятие жесткости бруса (участка бруса)определяется по формуле
(17.7)
Жесткость бруса численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение) бруса, равное единице длины: 1 м или 1 см и т.п.
При расчетах в единицах СИ коэффициент жесткости выражают в ньютонах на метр (Н/м).
Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют коэффициентом податливости:
(17.8)
Коэффициент податливости численно равен удлинению (укорочению) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 H или 1 кН.
(17.9)
или
(17.10)