9.4. Принцип Даламбера

Силы инерции широко используются при расчетах и решении тех­нических задач, причем использование сил инерции позволяет свес­ти к знакомым нам уравнениям статики решения многих задач, в ко­торых рассматривается движение несвободной материальной точки.

Прикладывая условно силу инерции к движущейся материаль­ной точке, можем считать, что активные силы , реакции связей и сила инерции , образуют уравновешенную систему (принцип Даламбера).

Решение задач динамики с помощью принципа Даламбера иногда называют методом кинетостатики.

Глава 10. Работа и мощность

10.1. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Если при действии постоянной силы на точку М ее перемеще­ние ,

то скалярная мера действия силы называется работой.

,

где – угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

В СИ работа выражается в джоулях: 1 Дж = 1 H∙м, килоджоулях: 1 кДж = 10³ Дж или в мегаджоулях: 1 МДж = 10⁶ Дж. Из предыдущей формулы видно, что работа – величина алгебраическая.

1. При изменении угла в пределах значение . Поэтому если угол – острый, то работа силы положительная. В частном случае, когда направление действия силы совпадает с направлением перемещений ( =0), и

2. При изменении угла в пределах 90°< <180° значение . Следовательно, если угол – тупой, то работа силы отрицательная. В частном случае при = 180°; и .

3. Заметим, что при = 90° значение и , т.е. работа силы, направленной перпендикулярно переме­щению точки, равна нулю.

Рассмотренные выше три частных случая значений работы силы при = 0°, = 180°, = 90° аналогичны значениям работы си­лы тяжести. Работа силы тяжести не зависит от траектории движе­ния точки и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Если точка М перемещает­ся из положения M₁ в положение М₂, то при любой траектории точ­ки работа силы тяжести равна:

где – начальная высота точки над заданным уровнем на Земле; – конечная высота над тем же уровнем.

10.2. Работа равнодействующей силы

Если на точку действует одновременно несколько сил, то алгеб­раическая сумма их работ равна работе равнодействующей силы.

Допустим, что перемещение точки произошло при действии на нее трех сил: и . Тогда, обозначив работу каждой из сил соответственно W₁, W₂ и W₃, можем записать

.

Сложив правые и левые части этих равенств, получим

Известно, что сумма проекций сил на некоторую ось равна проек­ции равнодействующей этих сил на ту же ось

Таким образом,

.

Так как и есть работа равнодействующей силы

, то

или в общем случае для любого числа сил

.

При равномерном прямолинейном движении точки, приложенная к ней система сил уравновешена (первая аксиома динамики), т.е. , и тогда

(алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил, прило­женных к точке, равна нулю).

10.3. Работа переменной силы на криволинейном пути

Чтобы определить работу непостоянной силы F при перемещении точки М по криволинейной траектории , надо дугу траек­тории разделить на множество частей , настолько малых, что каждую из них можно считать отрезком прямой. Тогда работа силы F на перемещении , так называемая элементарная работа, равна

.

Просуммировав все элементарные работы переменной силы , по­лучим ее работу на участке траектории от M₀ до M₁:

Разложив силу на составляющие и , направленные соответственно по нормали и касательной, увидим, что работа нормальной составляющей равняется нулю и, следовательно, в предыду­щей формуле произведение выражает модуль касательной со­ставляющей силы , т.е. , и этой формуле можем при­дать вид:

Интегралы могут быть определены лишь в том случае, если из­вестен закон движения точки.