Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.

Лекція 3.2.1. Розширення уявлень про графи. Теорія графів та її зв’язок з теорією відношень. Графи і відношення. Особливості графів, які відповідають відношенням з певними властивостями. Гіперграфи, особливості завдання, властивості. Нескінчені графи і їх властивості. Приклади застосування графів і відношень, гіперграфів та нескінчених графів.

Лекція 3.2.2. Укладання графів і проблема планарності. Спеціальні властивості графів, що використовуються в інформаційних технологіях управління та проектування. Укладання графа у просторі. Визначення плоского і планарного графів. Встановлення планарності графів. Існування планарних графів і теореми про непланарність деяких графів. Теорема Куратовського. Планарність і стягування. Планарність та двоїстість.

Лекція 3.2.3. Комбінаторні аспекти теорії графів. Оцінки характеристик графів. Грані і ступені графів. Теорема Ейлера і теореми про властивості ступенів планарних графів. Комбінаторні властивості двоїстих графів.

Лекція 3.2.4. Розфарбування графів. Задачі розведення друкованих плат, розфарбування мап і проблема розфарбування графів. Функція розфарбування, хроматичне число, вершинне і реберне розфарбування. Результати розв’язання проблеми розфарбування для графів загального вигляду. Результати розв’язання проблеми розфарбування для планарних графів.

Лекція 3.2.5. Розвиток комбінаторних уявлень про графи. Задача про весілля. Вершинне паро сполучення і задача про весілля в графовій інтерпретації. Необхідні і достатні умови вирішення, теорема Холла. Теорія трансверсалей. Трансверсаль, часткова трансверсаль. Необхідні і достатні умови існування трансверсалі. Застосування теореми Холла: латинські квадрати, (0,1)-матриці, реберне розфарбування, загальні трансверсалі.

Лекція 3.2.6. Зв’язок між шляхами та розрізами і поділами в графах. Реберно неперетинні та вершинно-неперетинні шляхи в графах. Поділяючі і розрізаючі множини в графах. Реберна форма теореми Менгера: зв’язок ре­берно неперетинних простих ланцюгів і поділяючих множин. Теорема Менгера: зв’язок вершинно неперетинних простих ланцюгів і розрізаючих множин. Аналоги основних результатів для орграфів. Зв’язок теорем Менгера і Холла.

Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.

Лекція 3.3.1. Базові поняття оцінки алгоритмів і їх застосування для обходу вершин та визначення двохзв’язних компонентів графу. Аналіз і оцінка алгоритмів. Алгоритм пошуку в глибину і його оцінка. Алгоритм пошуку в глибину в неорієнтованому зв'язному графі. Дослідження властивостей алгоритму пошуку в глибину. Алгоритм виділення блоків графа. Алгоритм пошуки в глибину з виділенням двохзв’язних компонентів.

Лекція 3.3.2. Алгоритми побудови мінімального кістяка і їх оцінка. Розробка й оцінка алгоритму визначення мінімального кістяка. Алгоритм побудови мінімального кістяка. Алгоритм побудови мінімального кістяка, орієнтований на роботу з «рідкими» графами. Властивості і оцінка алгоритму побудови мінімального кістяка.

Лекція 3.3.3. Розробка й оцінка алгоритмів пошуку найкоротших шляхів та найбільших паросполучень у графах. Алгоритм пошуку найкоротших шляхів у графах з невід’ємними вагами всіх дуг. Алгоритм пошуку в ширину. Алгоритм пошуку найкоротших шляхів у графах з від’ємними вагами дуг. Найбільші паросполучення і задача про призначення. Алгоритми побудови найбільших паросполучень. Алгоритм побудови паросполучень для зважених графів.

Роздiл 4. Теорія грама­тик та формальних мов