Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
[7; 19, гл.8. § 25-29, 21, гл.9, §30-33]
Вказівки щодо використання літературних джерел.
Вправи до теми 3.3.
Вправа 1. Нехай Т – дерево Хаффмана і нехай листок, позначений як а, має більшу глибину ніж листок, позначений як b. Довести, що ймовірність символу а не менша за ймовірність символу b.
Вправа 2. Довести, що в результаті виконання алгоритму Хаффмана для заданих ймовірностей отримується оптимальний код.
Вправа 3. Намалювати 2-3 дерево, отримане в результаті вставки в пусту множину (представлену як 2-3 дерево) елементів 5, 2, 7, 0, 3, 4, 6, 1, 8, 9.
Вправа 4. Показати, що в будь-якому дереві двійкового пошуку мінімальний елемент знаходиться в узлі без лівого сину.
Вправа 5. Для графу вказаного нижче використати:
а) алгоритм Дейкстри для пошуку найкоротших шляхів від вершини а до інших вершин;
б) алгоритм Флойда для пошуку найкоротших шляхів між всіма парами вершин.
Вправа 6. Показати, що алгоритм Дейкстри працює неправильно, якщо ваги дуг можуть бути від’ємними.
Вправа 7. Показати, що алгоритм Флойда працює коректно, якщо деякі дуги мають від’ємну вагу, але немає циклів, які складаються з дуг з від’ємними вагами.
Вправа 8. Побудувати алгоритм перетворення в ациклічний орграф арифметичних виразів з операторами додавання та множення, використовуючи підвирази, які повторюються.
Вправа 9. Побудувати алгоритм зчитування арифметичних виразів, які представлені у вигляді ациклічного графу.
Вправа 10. Довести, що при обході вершин графу методом пошуку в ширину кожне ребро може бути або ребром дерева, або зворотнім ребром.
Вправа 11. Для графа, наведеного нижче, побудувати:
а) кістякове дерево мінімальної ваги за допомогою алгоритму Пріма;
б) кістякове дерево мінімальної ваги за допомогою алгоритму Крускала;
в) кістякове дерево методом пошуку в глибину, починаючи з вершин a і d;
г) кістякове дерево методом пошуку в ширину, починаючи з вершин a і d.
Вправа 12. Розглянемо дерево гри, в якому використовуються 6 кульок та гравці 1 і 2 вибирають по черзі від одної до трьох кульок. Гравець, який взяв останню кульку вважається переможцем.
а) скласти повне дерево цієї гри;
б) якщо це дерево переглядати за допомогою методу альфа-бета відсіків, а вузли, які є конфігураціями з найменшою кількістю кульок, переглядати в першу чергу, то які вузли будуть відсічені?
в) хто виграє, якщо обидва гравці будуть діяти оптимальним шляхом?
Література
Основна
1. Axo А., Ульман Д. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции.- М.: Мир, 1978. - Т.1. - 614 с.
2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. -М: Мир. 1976. - 400 с.
3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1986. - 311 с.
4. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. - М.: Энергия, 1979. - Т.2: Основы кибернетических моделей.-584 с.
5. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.-М.: Энергоатомиздат, 1986.- 460 с.
6. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука. 1984. - 320 с.
7. Свами М, Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир. 1984. - 455 с.
Кривий С.Л. та ін. Основи дискретної математики. - К: Вища школа.-212с.
Кук Г., Бейз Д. Компьютерная математика. - М.: Наука, 1990. - 400 с.
Додаткова
8. Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984. - 566 с.
9. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов. - М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.
10. Гетманова А.Д. Логика. - М.: Высшая школа, 1986. - 288 с.
11. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. - М.: Наука, 1966. - 272 с.
12. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. - М.: Наука’ 1972. - 288 с.
13. Джордж Ф. Основы кибернетики. - М.: Радио и связь, 1984. -620 с.
14. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
15. Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. - М.: Наука, 1904. - 390 с.
16. Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. -М.: Наука, 1971. - 320 с.
17. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
18. Пападимитриу Х.Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985.- 510 с.
19. Уилсон Р. Введение в теорию графов. - М., 1977. - 208 с.
20. Управление, информация, интеллект/ Под ред. А.И.Берга и др. - М.: Мысль. 1976. - 383 с.
21. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. - М.:Мир, 1966. - 260 с.
22. Фу К. Структурные методы в распознавании образцов. - М.:Мир. 1977. - 320 с.
23. Хант Э. Искусственный интеллект. - М.: Мир, 1978. - 560 с..
24. ЯблонскийС.В. Введение в дискретную математику. - М.: Наука, 1979. - 277 с.
25. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование.-К.:Наукова думка,1989.-328с.
26. Осуга С. Обработка знаний. - М.: Мир, 1989. - 298 с.
27. Перминов О.Н. Язык программирования Паскаль. - М.: Радио и связь. 1989. - 120 с.
28. Кудрявцев В.Б. и др. Введение в теорию автоматов. - М.: Наука, 1985. – 320с.