Тема 6.3. Логіка предикатів.

Лекція 6.3.1. Основні поняття логіки предикатів. Змінні, константи, предикати, функції, квантори. Інтерпретації, класи формул за значенням істинності. Алгебра предикатів і алгебраїчний метод встановлення істинності.

Лекція 6.3.2. Нормальні форми логіки предикатів. Зведені, зведені нормальні, скулемівські нормальна та стандартна форми. Зведення до нормальних форм.

Лекція 6.3.3. Числення предикатів та теорії першого порядку. Означення та аналіз дедуктивних властивостей. Теорема дедукції. Виведення з гіпотезами та його властивості. Приклади теорій першого порядку.

Лекція 6.3.4. Модельні властивості числення предикатів. Повнота числення предикатів. Несу­пе­реч­ність числення предикатів. Розв’язуваність числення предикатів. Проблема характеризації і підходи до її розв’язання.

Заключна лекція. Загальні уявлення про автоматичне доведення теорем. Логічне програмування і його застосування в системах управління. Основні висновки з курсу

Теми лабораторних робіт.

1. Множини і відношення. Способи визначення, операції над множинами: об'єднання, переріз, різниця, доповнення, декартів добуток. Рівнопотужні множини. Функції. Композиція і типи. Відношення, n-нарні відношення. Властивості відношень. Способи задання відношень. Відношення еквіва­лентності, порядку. Впорядковані множини. Злічені та незлічені множини.

2. Впорядковані множини. Універсальні границі. Мінімальні і максимальні елементи. Найбільший і найменший елементи, межі. Частково впорядковані множини як решітки.

3. Регулярні множини.

4. Перестановки, розміщення, сполуки елементів. Рекурентні співвідношення. Розбиття множини.

5. Алгебри з однією операцією: напівгрупа, моноїд, група. Алгебри з двома операціями.

6. Алгебра відношень. Приклади алгебр з двома операціями. Аналіз власти­востей і встановлення типу алгебри.

7. Проблема породження. Підалгебра і система твірних. Аналіз власти­востей і встановлення типу алгебри.

8. Способи завдання графів. Спеціальні види графів. Дерева, підграфи. Шляхи, ланцюги, маршрути у графах Операції над графами. Ейлерові і гамільтонові графи. Турніри.

9. Розріз і розрізаюча множина. Встановлення планарності графів. Грані і ступені графів. Планарність і двоїстість.

10. Потоки у мережах. Найпростіші алгоритми розв'язання задачі про максимальний потік. Мережі Петрі.

11. Граматики, породження, загальні властивості. Визначення мов граматиками. Регулярні множини і автоматні граматики.

12. Контекстно-вільні мови та їхні властивості. Нормальні форми граматик. Контекстно-залежні граматики і граматики без обмежень. Властивості граматик без обмежень і контекстно-залежних граматик.

13. Загальне уявлення про задання алгоритмічних мов програмування граматиками. Форма Бекуса-Наура і розширена фор­ма Бекуса-Наура.

14. Скінчені автомати і їхні властивості. Скінчені автомати і регулярні мови.

15. Аналіз і синтез скінчених автоматів. Еквівалентність станів і еквівалентність скінчених автоматів. Еквівалентне розбит­тя. Приклади скінчених автоматів для моделювання реальних об'єктів.

16. Автомати з магазинною пам’яттю. Мови, що допускаються МП-автоматами. МП-автомати і контекстно-вільні мови. Загальна проблема розпізнавання і пробле­ма трансляції.

17. Лінійно-обмежені автомати і машина Т’юрінга. Машина Т’юрінга. Машина Т’юрінга і мови без обмежень. Лінійно-обмежені автомати і контекстно-залежні мови. Зв’язок машини Т’юрінга з алгоритмами.

18. Прості і складні висловлювання. Дослідження можливостей табличного методу встановлення істинності. Закріплення вміння формалізувати знання, що представлені у природно мовній формі.

19. Функції алгебри логіки. Перевірка повноти, визначення базису.

20. Алгебраїчний метод. Дослідження можливостей алгебраїчного методу. Нормальні форми. Двоїсті висловлювання.

21. Дедуктивні властивості числення висловлювань. Виведення в численні висловлювань.

22. Особливості використання аксіом та правил виведення, виведення з гіпотезами, використання дедукції.

23. Формули логіки предикатів, інтерпретації, алгебраїчний метод та нормальні форми.

24. Закріплення вміння формалізувати знання мовою логіки предикатів, що представлені у природно мовній формі. Виведення в численні предикатів.

За навчальним планом на вивчення перелічених тем відводить­ся 140 годин занять (лекційних - 70 і лабораторних – 70), у тому числі в першому семестрі - 72 години /лекційних - 36 і практичних - 36/ та в другому семестрі - 68 годин /лекційних - 34 і прак­тичних – 34/.

Обсяг самостійної роботи регулюється студентом. Перелік реко­мендованих підручників з кожної теми, питань, що в них розгля­даються, їхній зміст і характеристика особливостей, що вимагають пильної уваги, наведені у методичних вказівках.

Можливий режим самостійної роботи студент визначає, виходячи з об’єктивних і суб’єктивних факторів. Важливо розуміти різні підходи до вивчення матеріалу, насамперед універсальні. Так можна рухатися від загальних положень до окремих випадків, а також переходити від вивчення окремих випадків до узагальнення. Можна отримувати нове знання аналізом існуючих підходів, методів і конструкцій, а можна його синтезувати із окремих відомих компонентів за загально прийнятними схемами. Наведені рекомендації допоможуть при опрацюванні матеріалу лекцій та підготовці до лабораторних занять, виконанні курсової роботи. Особливо корисними вказівки можуть бути для студентів заочної форми навчання.

Перелік тем, що вивчають, і їхній розгорнутий зміст дадуть можливість студентам планувати свою роботу з більшою точністю, підготуватися до викладання матеріалу, пов’язати зміст курсу з іншими дисциплінами. Пропонований зміст курсу рекомендується для студентів, які займаються за індивідуальними програмами.

Виконання завдань з самостійної роботи вимагав від студентів певних навичок роботи з літературою, уміння виділяти в першоджерелі головне й другорядне, працювати з різними системами визначень, систематизувати свої знання, протидіючи фрагментарності завдань, удосконалювати форми самостійної роботи.

Кожному студенту рекомендується завести картотеку літератури з тем, що його цікавлять, фіксувати переглянуті джерела і джерела, що належить переглянути, коротко анотувати кожне з переглянутих джерел. Усі рекомендовані студентам літературні джерела з необхідної дисципліни є у фондах бібліотеки НТУУ “КПІ”. Час і місце проведення занять з самостійної роботи студенти обирають згідно з індивідуальними нахилами. Кожному студенту під час самостійного опрацювання матеріалу рекомендується чітко й можливо повніше відповісти на такі запитання:

1. Яке місце в галузі дискретної математики займає матеріал, що вивчається?

2. Що викликало появу методів дискретної математики, що вивчаються?

3. Наскільки обгрунтовані теоретичні положення, що висуваються?

4. Яка практична користь методів і засобів, що вивчаються, або які прикладні задачі можна розв’язати за допомогою цих засобів і методів?

5. Яке філософське трактування можна дати здобутим результатам?

6. Які відомі методи й засоби використані для знаходження результатів?

7. Чи можна знайти аналоги прийнятому для відшукання результа­ту підходу й чи можна поширити його на інші розділи цієї та інших дисциплін?

8. Чи можна узагальнити знайдені результати? Чи можна поліпшити запропоноване розв’язання проблеми?

9. Чи можна у запропонованому варіанті розв’язання проблеми знайти елемен­ти, що розширюють арсенал методів і засобів, які застосовує студент?

Вивчення матеріалу має супроводжуватися виконанням вправ, наведених у даних методичних вказівках і в рекомендованих підручниках.

Особлива увага у методичних вказівках приділена типовим помилкам, яких припускаються студенти, які вивчають дискретну математику. Наводяться як помилки, так і засоби, які студент може використовувати для їх запобіганню в процесі самостійної роботи. Правильно поставившись до аналізу помилок, можна глибше зрозуміти матеріал, глибинні зв’язки між окремими розділами і темами. Для цього рекомендується класифікувати помилки, наприклад в визначеннях, методах і алгоритмах, доведеннях, напрацьовувати типові прийоми їх запобігання.

У процесі вивчення матеріалу можуть виникнути запитання» на які відповідь не буде знайдена. Ці запитання необхідно поставити на консультації.

У рекомендо­ваній для вивчення літературі, студенти можуть знайти багато додаткового матеріалу, який допоможе суттєво поглибити знання з відповідних розділів, що входять до робочої навчальної програми дисципліни "Основи дискретної математики". У першу чергу ці матеріали орієнтовані на вимоги до випускника спеціальності "Комп’ютеризовані системи управління і автоматики" з боку інститутів і організацій НАН України. Проте ці матеріали будуть корисні всім студентам, які бажають спеціалізуватися з сучасних методів аналізу і управління, експертних систем і систем штучного інтелекту в галузі комп’ютеризації управління.

Запитання для перевірки знань.

1. Сформулюйте ваші уявлення про множини та операції над ними.

2. Сформулюйте ваші уявлення про функції, операції, відповідність, відображення, спільне та відмінне в них.

3. Сформулюйте ваші уявлення про систему, властивості системи.

4. Сформулюйте ваші уявлення про логіку, її сутність та роль.

5. Сформулюйте ваші уявлення про форми абстрактного мислення.

6. Сформулюйте ваші уявлення про мову, її роль у діяльності людини.

Розділ І. ПРОБЛЕМАТИКА ТА ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК РОЗДІЛІВ КУРСУ: ПЕРЕДУМОВИ, РІШЕННЯ, ПЕРСПЕКТИВИ.

У розділі вказана рекомендована література з кожної теми розділу, описані труднощі, які можуть виникнути при самостійному вивченні, та способи подолання їх, наводяться вправи та приклади їх виконання.