- •І. Зміст дисципліни
- •Роздiл 1. Проблематика і взаємозв'язок розділів курсу: передумови, рішення, перспективи
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Роздiл 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід.
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Тема 4.1. Формальні граматики і мови.
- •Тема 4.2. Алгебраїчні моделі формальних мов.
- •Тема 5.1. Скінчені автомати, їх аналіз і синтез.
- •Тема 5.2. Нескінчені автомати.
- •Тема 5.3. Автомати і граматики. Синтаксичний аналіз.
- •Тема 6.1. Алгебра висловлювань.
- •Тема 6.3. Логіка предикатів.
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Розділ 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Вправа 1. Задано граф матрицею суміжності r .
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Вправа 12. Розглянемо дерево гри, в якому використовуються 6 кульок та гравці 1 і 2 вибирають по черзі від одної до трьох кульок. Гравець, який взяв останню кульку вважається переможцем.
- •Література
Тема 3.1. Загальні властивості графів.
Лекція 3.1.1. Графи. Основні поняття і визначення. Закономірність виникнення теорії графів в історичному аспекті. Визначення графу і відповідна термінологія. Способи завдання графів (геометричний, аналітичний, матричний (матриці суміжності і інцидентності)). Часто вживані види графів: прості, ізольовані, мультиграфи тощо. Позначені і непозначені графи, оцінки їх кількості. Ступені вершин графів і їх властивості. Загальні властивості неорієнтованих графів.
Лекція 3.1.2. Підграфи і маршрути в графах. Графи і підграфи. Власні і кістякові підграфи. Повні графи. Доповнення. Маршрути, ланцюги, шляхи, цикли, компоненти зв’язності в графах. Ексцентриситет, діаметр, радіус, центр графа. Шляхи, ланцюги, цикли, маршрути у графах, зв’язані графи, підграфи тощо як необхідна термінологія для вирішення задач управління. Приклади графів для моделювання різних об'єктів.
Лекція 3.1.3. Графи. Операції над графами і спеціальні графи. Операції над графами: об’єднання, перетин, вилучення ребер і вершин, стягування тощо. Властивості операцій над шляхами, циклами, компонентами. Спеціальні види графів: однорідні, двочасткові і їх властивості. Розпізнавання двочасткових графів. Спеціальні ребра і вершини графів: точки зчленування, мости тощо.
Лекція 3.1.4. Дерева, розрізи, Ейлерові і Гамільтонові графи. Неорієнтовані дерева: визначення, властивості, ліс, теорема Келі про перерахування. Ейлерові і гамільтонові неорієнтовані графи: визначення і властивості. Умови ейлеровості і гамільтоновості графів. Спеціальні властивості графів, що використовуються теорією надійності. Проблеми прикладної теорії надійності і графи. Визначення і основні властивості розрізу і розділяючої множини. Співвідношення розрізу і розділяючої множини.
Лекція 3.1.5. Орієнтовані графи і їхні властивості. Визначення та загальні властивості орієнтованих графів. Особливості способів завдання орграфів, визначення орієнтованих маршрутів і їх видів, спеціальні види орграфів, їх вершин і ребер, витоки, стоки. Орієнтовані маршрути і матриці суміжності орграфів. Сильна і слабка зв’язаність орграфів. Визначення і властивості ейлерових і гамільтонових орграфів. Турніри, їх зв’язок з гамільтоновими і напівгамільтоновим орграфами та застосування для оцінки альтернатив. Приклади застосування орграфів для вирішення задач управління.
Лекція 3.1.6. Орієнтовані дерева і їхні властивості. Орієнтовані (кореневі) дерева. Корінь, зв’язність, квазисильна зв’язність та інші властивості орієнтованих дерев. Символьне зображення орієнтованих дерев. Рівень, глибина, листя та інші поняття орієнтованих дерев. Лівий і правий польський запис. Особливості виконання операцій над графами, заданими різними способами.
Лекція 3.1.7. Мережі і задачі на мережах. Потоки у мережах. Визначення мережі, потоку і розрізу. Теорема Форда-Фалкерсона. Найпростіші алгоритми вирішення задачі про максимальний потік. Практичні задачі і мережі. Мережі Петрі. Практична необхідність і виконання мереж Петрі. Визначення і основні властивості.