- •І. Зміст дисципліни
- •Роздiл 1. Проблематика і взаємозв'язок розділів курсу: передумови, рішення, перспективи
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Роздiл 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід.
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Тема 4.1. Формальні граматики і мови.
- •Тема 4.2. Алгебраїчні моделі формальних мов.
- •Тема 5.1. Скінчені автомати, їх аналіз і синтез.
- •Тема 5.2. Нескінчені автомати.
- •Тема 5.3. Автомати і граматики. Синтаксичний аналіз.
- •Тема 6.1. Алгебра висловлювань.
- •Тема 6.3. Логіка предикатів.
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Розділ 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Вправа 1. Задано граф матрицею суміжності r .
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Вправа 12. Розглянемо дерево гри, в якому використовуються 6 кульок та гравці 1 і 2 вибирають по черзі від одної до трьох кульок. Гравець, який взяв останню кульку вважається переможцем.
- •Література
Роздiл 1. Проблематика і взаємозв'язок розділів курсу: передумови, рішення, перспективи
Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
Лекція 1.1.1. Множини та функції. Поняття множини, елементи множини. Способи описання множини і її елементів. Рівність множин. Підмножини. Універсальна множина, булеан множини. Операції над множинами: об'єднання, переріз, різниця, доповнення. Діаграми Ейлера. Властивості операцій над множинами, принцип двоїстості, тотожні перетворення виразів. Поняття вектора, компоненти вектора. Впорядковані пари, трійки, n-ки. Прямий (декартів) добуток множин. Поняття відображення і функції. Образ і прообраз функції. Типи функцій: ін'єктивна, сюр'єктивна, бієктивна. Часткові функції. Функції від n аргументів. Функції із множини S в множину S. Функціональний підхід в математиці і його значення.
Лекція 1.1.2. Бінарні відношення і їхні властивості. Визначення відношення, n-арного відношення. Властивості відношень. Бінарні відношення, область визначення та область значення відношення. Способи задання відношень. Композиція відношень, обернене відношення. Відношення: рефлексивні (антирефлексивні, іррефлексивні), симетричні (асиметричні, антисиметричні), транзитивні (не транзитивні). Відношення еквівалентності і порядку. Рівність і розбиття. Класи еквівалентності. Відношення еквівалентності і розбиття. Відношення порядку. Впорядкованість і відношення. Строгий та частковий порядок. Частково впорядковані множини. Повністю впорядковані множини. Найбільший і найменший елементи впорядкованоі множини, верхня і нижня межі.
Лекція 1.1.3. Ускладнення математичних об’єктів. Розширення уявлень про функції. Функції слідування Пеано. Операції над функціями. Композиція функцій, підстановки. Обернені і оборотні функції. Теореми про існування обернених і оборотних функцій. Спеціальні класи функцій: підстановки, цикли, з’єднання, послідовності, функціонали.
Лекція 1.1.4. Ускладнення математичних об’єктів. Розширення уявлень про відношення. Решітки як частково впорядковані множини. Замикання відношень. Транзитивне замикання. Рефлексивне замикання.
Лекція 1.1.5. Відношення на базах даних і структури даних. Відношення і структури даних. Файли, записи, поля і відношення. Бази, таблиці, атрибути, домени, ключі. Нормальні форми: перша, друга, третя. Функціональна залежність атрибутів. Нормалізація. Приклади відношень як структур даних.
Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
Лекція 1.2. 1. Уявлення про природні і формальні мови. Знаки і символи. Мова: формальне визначення. Поняття синтаксису і семантики. Алфавіти, множини слів та мови. Операції над словами та множинами слів. Конкатенація, об’єднання, ітерація.
Лекція 1.2.2. Загальне уявлення про способи визначення мов. Регулярні множини. Мовні засоби дискретної математики. Способи визначення мов. Породження мов. Уявлення про граматики. Розпізнавання мов. Уявлення про автомати. Алгебраїчний підхід та мови. Регулярні множини. Регулярні вирази. Приклади регулярних множин. Єдність засобів моделювання дискретної математики на прикладі формальних мов і засобів їх визначення: граматик, алгебраїчного підходу та автоматів.