Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.

[2, гл.1, § 7, 9; гл.7? § 5; гл.10, § 1, 2, 3]

Вказівки щодо використання літературних джерел.

Закріпивши уявлення про алгебраїчні системи прикладами, можна аналізувати проблему породження. Проблема породження пов’язана з відображенням кожного елемента носія в пам’яті комп’ютера, що ви­користовує алгебраїчні системи для розв'язання задач конструктив­ного характеру. Якщо носій містить багато елементів, то їх відоб­раження в пам’яті може бути дуже громіздким. А якщо врахувати, що не кожен елемент можна використати, відображення таких елементів взагалі не обгрунтоване. Звідси бере своє походження ідея - збері­гати тільки підмножину носія й породжувати елементи носія у разі необхідності з елементів цієї підмножини з допомогою операцій да­ної алгебри.

Практика дає цілий ряд прикладів природного виникнення проб­леми повноти. Розглянемо один з них. У вигляді графа задано склад і взаємозв'язки між входом і виходом елементарних розрахункових процедур системи обробки інформації. Нехай {V_i} - множина процедур.

i=1,…,11.

Кожна процедура призначена для розрахунку одного показника.

Кожний користувач системи може запросити розрахунок будь-якої підмножини показників. Вико­нання запиту вимагатиме виклику й виконання відповідних процедур. Так, якщо буде запитано показник, розрахунок якого виконує процедура

V₈,то будуть викликані й виконані процедури V₂, V₃, V₅, V₆ що забезпечують процедуру V₈ належною інформацією.

Проте, якщо об’єднати процедури V₂, V₃, V₅, V₆, V₈ в один модуль M₁ , то всі виклики й розрахунки можна виконати набагато економніше.

Легко помітити, що запит показника, який розраховується про­цедурою V₇, не може бути задоволений викликом даного модуля. Тоді модна визначити ще один модуль, скажімо M₂, що містить процедури V₁, V₂, V₃, V₄ ,V₅, V₇. Очевидно, модулі M₁ і M₂ містять деякі однакові процедури, причому цих модулів недостатньо для відповіді на запит, то вимагає процедури V₁₀ або V₁₁. З іншого боку, процедури, що містяться в модулях M₁ і M₂ ,можна згрупувати в модулі: M₃, що включає процедури V₁, V₂, V₄; M₄, що включає процедури V₂, V₃, V₅, V₆ ; M₅ i M₆ що включає відповідно процедури V₇ і V₈ .

Таким чином, запит, що вимагав виклику й виконання модуля M₁, може бути обслужений викликом і виконанням модулів M₃, M₄, M₅ . Аналогічно виклик модуля М₂, можна замінити викликом модулів M₄, M₆ .

Виникає проблема розбиття множини процедур {V_i} на модулі. При цьому варто відзначити два аспекти проблеми розбиття:

- оптимізаційний: очевидно, існує множина альтернатив розбит­тя й серед них треба вибрати найкращу в якомусь значенні; якщо оцінку альтернатив можна виконати на множині чисел, то методи розв'язання задачі лежать у галузі математичного програмування або в теорії прийняття рішень;

- алгебраїчний: необхідно, щоб розбиття задовольняло будь-який запит. Іншими словами, вибирати можна тільки з розбиттів, які містять набір модулів, що забезпечує розрахунок будь-якого показника або множини показників.

Якщо позначити через М множину різних модулів на множині {V_i} , то другий аспект пов’язаний з породженням М за допомо­гою деяких операцій з підмножини модулів, тобто другий аспект пов’язаний з розв'язанням проблеми повноти.

Таким чином, необхідно визначити алгебраїчну систему, носієм якої є множина модулів, а операціями - операції над модулями /об’єднання, різниця та ін./ і вибрати оптимальну в якомусь смис­лі систему твірних. Цю алгебру називатимемо алгеброю модулів.

Практичні критерії розв'язання задачі два відома теорема Поста. Перш ніж перейти до цього результату, необхідно дослідити властивості підалгебр і максимальних підалгебр. Зверніть увагу, що оптимізаційна частина проблеми розбиття також може бути розв'я­зана з використанням алгебраїчного апарату, якщо вона буде зведена до визначення базису алгебри модулів.

З/ знайти системи твірних для відомих числових систем.

Наступний приклад демонструє такий факт: для деяких множин легше показати, що за допомогою операцій з їх елементів можна здобути всі елементи носія, ніж знайти всі максимальні підалгебри і скористатися критерієм Поста.

Розглянемо алгебраїчну систему <R_2,2, 2, +, >, де R_2,2 - множина матриць 2х2, елементи яких належать множині N  {0}; +,  - відповідно операції додавання і множення матриць.

Множина - система твірних. Дійсно, матрицю можна дістати як добуток матриць а матрицю - як добуток матриць Тепер матрицю дістанемо як добуток матриць додаванням n_i матриць

Якщо врахувати, що таким чином можна дістати всі матриці множини М_2,2 , то  - система твірних.

У той самий час відповідь на питання про максимальні під­алгебри не така проста. Більше того, тепер на неї легше відпо­вісти, знаючи систему твірних і використовуючи критерій Поста. Є виправданим вважати, що існує дві максимальних підалгебри: у носієві однієї з них серед інших відсутня матриця дру­гої - матриця , крім тих матриць, що можна отримати з її допомогою.

Вправи до теми 2.2.

Вправа 1. Навести приклади підалгебр алгебри < N, +>.

Вправа 2. Навести приклади підалгебр алгебри < N,  >.

Вправа 3. Навести приклад алгебри та двох її підалгебр таких, що об’єднання носіїв підалгебр теж було б носієм ще однієї підалгебри вихідної алгебри.

Вправа 4. Навести приклад алгебри та двох її підалгебр таких, щоб об’єднання носіїв підалгебр не було б носієм ще однієї підалгебри вихідної алгебри.

Вправа 5. Використовуючи кола Ейлера, показати носії алгебри та її максимальних підалгебр для таких випадків: а) існує хоч одна система твірних, яка містить один елемент; б) існують тільки системи твірних, які містять не менш ніж два елементи; в) існують тільки системи твірних, які містять більш ніж два елементи.

Вправа 6. Задати на множині S = {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆} операцію ○ так, щоб алгебра <S, ○> мала тільки дві максимальні підалгебри, до того ж носії цих підалгебр не перетиналися б.

Вправа 7. Вкажіть особливості знаходження максимальних підалгебр та систем твірних для алгебр з однією унарною операцією.

Вправа 8. Навести приклад нескінчено-породженої алгебри.

Вправа 9. Встановити дійсність твердження: "Для будь-якої максимальної підалгебри <F> алгебри <R, F> можна знайти тільки один елемент r  R, якого немає в R^M.

Вправа 10. Встановити максимальні підалгебри та системи твірних алгебраїчної системи:

1) < Z, +, • >, 2) < N, + >, 3) < Z, • >,

4) < M, +, • > з вправи 7 теми 5;

5) < M, +, • > з вправи 11 теми 5;

6) < Z, + >, 7) < N, • >, 8) < Q, +, • >.

Приклад: Розглянемо алгебраїчну систему < Z, +, • >.

Максимальні підалгебри <{...,-6,-4,-2, 0, 2, 4, 6,…}, +, • > і <{0, 1,2, 3,...}, +,• >.

Дійсно, замкнутість носія відносно операцій “+” та “•” виконується. Одночасно, якщо до носія першої підалгебри додати будь-який непарний елемент, то, застосовуючи операцію додавання, одержуємо елемент -1, а потім елемент 1 = (-1)(-1). Очевидно, замикання носія першої підалгебри за операціями “+” та “•” після операції додавання збігається з множиною Z. Це означає, що перша підалгебра максимальна.

У носій другої підалгебри (його замкнутість легко перевірити) не входять тільки від’ємнi цілі числа. Включення будь-якого з них дозволить за допомогою операції "+" одержати елемент -1. Повторюючи наведені міркування, підтверджуємо, що друга підалгебра максимальна. Можна показати, що максимальними підалгебрами будуть:

<{ ..., -9,-6,-3, 0, 3, 6, 9,...}, +, • >;

<{..., -15,.-10,-5, 0, 5, 10,15}, +, • >.

Можливо, максимальні підалгебри можна задавати у вигляді

< {...,- 3р, - 2р, -р, 0, р, 2р, 3р,...},

де р - просте число. Доведення залишаємо бажаючим.

Якщо навіть це не так, то системи твірних ми вже можемо визначити. За критерієм Поста системою твірних є множина {-1}. Це й буде базис. Можна одержати довільне число систем твірних, кожна з яких повинна містить елемент -1.

Вправа 11. Якщо <R, F> - алгебра, то чи поширюються властивості її операцій на підалгебру <R₁, F>, R₁ R.

Вправа 12. Якщо <R₁, F> - підалгебра алгебри <R, F>, то чи переносяться властивості операцій підалгебри <R₁, F> на операції <R, F>.

Вправа 13. Нехай <R, F> - алгебра,   R. Як, застосовуючи лише теоретико-множинні операції, отримати []_F.

Вправа 14. Навести приклад алгебри та її неперетинних максимальних під алгебр.

Приклад: Розглянемо алгебраїчну систему <{a,b,c}, •>, де операція • визначена наступним чином:

a•a = a, a•b = b•a = c,

b•b = b, a•c = c •a = b,

c•c = c, b •c = c • b = a.

Легко пересвідчитися, що алгебри <{a}, •>, <{b}, •>, <{c}, •> є максимальними, а їх носії не перетинаються.

Вправа 15. Чи існують алгебри, що мають не менше двох максимальних підалгебр, носії яких перетинаються частково.

Вправа 16. Навести приклад дистрибутивної решітки без додаткових елементів.

Вправа 17. Обґрунтувати справедливість твердження “Якщо об’єднання носіїв двох максимальних під алгебр алгебри <R, F> є носієм під алгебри цієї ж алгебри, то воно співпадає з множиною R”.

Вправа 19. Чи можна стверджувати, що алгебра завжди має більш широкий набір властивостей, ніж будь-яка з її підалгебр?

Вправа 20. Нехай маємо алгебру <R, F>. Якщо <R₁, F>, ..., <R_n, F>, то чи належать <R, F>, <R₁, F>, ..., <R_n, F> до одного класу алгебр.

Приклад. <Z, +, > - алгебра, яка належить до класу комутативних кілець. Але її підалгебри <Z_п, +, > і <N, +, >, тому що у першій з них немає одиниці по множенню, а у другій немає групи по додаванню.

Але чи є це завжди так?

Розділ 3. ТЕОРІЯ ГРАФІВ ТА МЕРЕЖ.

У розділі вказана рекомендована література з кожної теми розділу, описані труднощі, які можуть виникнути при самостійному вивченні, та способи подолання їх, наводяться вправи та приклади їх виконання.