Тема 3.1. Загальні властивості графів.

[7; 19. § 1. 2, 3, 5-7, 9-11, 22, 23; 17; 19, § 4, 5, 12, 13, 17-20]

Вказівки щодо використання літературних джерел.

Використовуючи відомий з різних джерел (головоломок, історії - генеалогічні дерева, хімії – структури хімічних сполук тощо) геометричний спосіб задання графів сформуйте загальні уявлення про графи, їх основні поняття і властивості. Закономірність виникнення теорії графів в історичному аспекті суттєво спростить розуміння формального визначення графу і відповідної термінології. На основі геометричного способу задання графу сформуйте уявлення про аналітичний і матричний (матрицями суміжності і інцидентності) способи на тому ж графі.

Часто вживані види графів (прості, ізольовані, повні, мультиграфи тощо) слід розглядати, моделюючи ними реальні об’єкти, пов’язані з розв'язанням практичних проблем. Необхідність введення позначених і непозначених графів легше зрозуміти, виходячи з принципово різних задач, що можуть вирішуватися дослідником.

Маючи загальне уявлення про графи, необхідно поглибити знан­ня про їхні властивості, дослідити спеціальні види графів (однорідні, двочасткові тощо), операції над графами. Підграфи і маршрути в графах, операції на графах та специфічні поняття теорії графів, насамперед ексцентриситет, діаметр, радіус, центр графа, стануть зрозумілішими як необхідна термінологія для вирішення задач управління. Тому рекомендується пов’язувати поняття теорії графів з розв'язанням практичних проблем. Так, якщо структуру пристрою зображувати у вигляді графа, то тоді будь-який блок пристрою можна зображувати підграфом. Стає зрозумілим причина введення власних і кістякові підграфів. Зрозуміло, що маніпуляції з складовими частинами систем та пристроїв типу вилучення, включення, знаходження подібного, можна розглядати як відповідні операції над графами. Практичне застосування можна знайти для об’єднання, перетину, різниці, доповнення графів, вилучення ребер і вершин, стягування та інших операцій. Наприклад, операція об’єднання графів необхідна для об’єднання різних транспортних систем. Для уявлення про значення маршрутів зверніться до моделювання графами транспортних систем. Знайдіть ситуації, коли маршрути, ланцюги, шляхи, цикли дозволяють простіше сформулювати практичні проблеми. Зі шляхами в графах пов’язані поняття зв’язаних графів, компонент зв’язності в графах тощо. Розглядайте приклади різних складних об’єктів, моделюйте їх графами, щоб через сприйняття багатого понятійного апарату теорії графів опанувати творчий процес введення нових понять. Так, інтуїтивно зрозумілі проблеми надійності полегшать сприйняття спеціальних ребер і вершин графів (точок зчленування, мостів тощо). Аналіз особливостей операцій над шляхами, циклами, компонентами дозволить глибше зрозуміти їх властивості. Поняття двочасткових та інших графів стануть зрозумілішими, якщо намагатися розв’язати проблему їх розпізнавання.

Варто вивчити властивості неорієнтованих дерев, ейлерових, гамільтонових графів і турнірів, що широко використовуються у різних розділах науки й техніки, зокрема турніри використовуються у теорії прийняття рішень. З деревами, які насамперед використовуються у різних класифікаціях пов’язані поняття лісу, результати про перерахування. Аналіз умов ейлеровості і гамільтоновості графів дозволить глибше дослідити їх властивості. Спеціальні властивості графів, що використовуються теорією надійності, розглядайте після ознайомлення із проблемами прикладної теорії надійності, аналізу надійнісних схем. Це дозволить зрозуміти визначення і основні властивості розрізу і розрізувальної множини, їх співвідношення. Необхідно порівняти визначення розрізу й розрізувальної множини, щоб уникнути стандартних помилок. Так, для розрізувальної множини важливо щоб видалення всіх її ребер збільшувало б кількість компонентів зв’язності графа й жодна підмножина ребер розрізувальної підмножини цією властивістю не володіла б. Тому не можна називати розрізувальною множиною тіль­ки ту з них, яка містить мінімальну кількість ребер, відмовляючи у цьому праві іншим розрізувальним множинами а більшою кількістю елементів. А для розрізу важливе існування розбиття вершин графа на дві підмножини й включення у розріз тих і тільки тих ребер, які зв'язують вершини з різних підмножин.

Орієнтовані графи їх визначення та загальні властивості вивчайте, застосовуючи порівняльний метод на основі сформованих уявлень про не орієнтовані графи. Таким чином, через особливості способів завдання орграфів, визначення орієнтованих маршрутів і їх видів, спеціальні види орграфів, їх вершин і ребер, витоків і стоків ви сформуєте адекватні уявлення про орграфи і перевірите свої уявлення про графи.

В такому ж плані вивчайте орієнтовані маршрути і матриці суміжності орграфів, сильну і слабку зв’язаність орграфів, особливості ейлерових і гамільтонових орграфів. Турніри, їх зв’язок з гамільтоновими і напівгамільтоновим орграфами стануть зрозумілішими, якщо їх розглядати в плані застосування для оцінки альтернатив, на приклади застосування орграфів для вирішення задач управління.

Варто зазначити, що орієнтовані дерева і їхні властивості потребують значної уваги завдяки своїй популярності. Дуже важливо мати точне уявлення про корінь, зв’язність, квазисильну зв’язність та інші властиво­сті орієнтованих дерев, їх символьне зображення у вигляді лівого і правого польського записів у термінах рівнів, глибини, листя тощо. Важливі для розуміння об’єкту вивчення особливості виконання операцій над графами, заданими різними способами. Кореневі дерева природно відображають ієрархію систем управління.

При аналізі введених понять варто бути дуже уважним. У кожно­му визначенні необхідно абсолютно чітко встановити сутність виз­начуваного об’єкта, не додаючи нічого зайвого й не виділяючи іс­тотного. Наприклад, орграф з коренем, з якого веде єдиний орієн­тований шлях до будь-якої вершини орграфа. Так ми визначаємо об’єкт, що називається кореневим деревом.

Дістаючи деяке уявлення про кореневі дерева на основі геомет­ричного способу задання їхніх прикладів, студенти часто намагають­ся модифікувати наведене визначення. Одні модифікації пов’язані з підсиленням визначення. Можливий варіант: “Орграф з єдиним ко­ренем, з якого веде єдиний шлях до будь-якої іншої вершини оргра­фа". Це підсилення не потрібне. Воно випливає з основного визна­чення. Припустимо, що в кореневому дереві більше двох коренів v_i і v_j . Але тоді з v_i веде орієнтований шлях до будь-якої іншої вершини, в тому числі v_k, ki, kj. 3 вершини v_j веде орієнтований шлях до будь-якої іншої вершини, в тому числі v_k. Але щоб v_i була коренем, необхідна наявність орієнтованого шляху з v_i в v_j. А це означає або наявність двох орієнто­ваних шляхів з v_i в v_k , або належність вершини v_j орієнтованому шляху з v_i в v_k. У другому випадку виконання умови, що v_j є коренем, вимагає наявності орієнтованого шляху з v_j в v_i і, отже, означає наявність циклу.

І нші модифікації пов’язані з послабленням визначення. Мож­ливий варіант: “Орграф з коренем, що не містить орієнтованих циклів”. Очевидно, що це визначення може бути спростоване, скажімо, орграфом такого вигляду:

Орграф на малюнку задовольняє останнє визначення, але не за­довольняє визначення кореневого дерева, оскільки з кореня v₀ ве­дуть два орієнтованих шляхи у vV₄.

З іншого боку, бувають визначення різні, які визначають один і той самий об’єкт. Це зручно як для повнішого й адекватного уяв­лення того, хто вивчає, про об’єкт вивчення, так і для розв'язу­вання практичних задач, які можуть вимагати різних визначень. Наприклад, кореневе дерево - орграф з коренем, в основ;! якого ле­жить граф, що не містить циклів.

Це визначення еквівалентне основному. Дійсно, як показано вище, з основного визначення виходить, що в графі, який лежить в ос­нові кореневого дерева, не міститься циклів. І навпаки, відсут­ність у графі, що лежить в основі орграфа з коренем, циклів робить неможливим існування більше як одного шляху з кореня в будь-яку іншу вершину.

Як зазначалось вище, формування уявлення про об’єкти, що вводяться, варто супро­воджувати розглядом реальних проблем аналізу й синтезу систем управління, при розв’язуванні яких корисно використовувати вве­дені об’єкти. Найважливіше те, що графи відображають структуру багатьох реальних об’єктів.

Співвідношенню орграфів без паралельних ребер і бінарних відношень рекомендується приділити особливу увагу. По-перше, взаємо однозначна відповідність цих множин підкреслює, що між, здава­лося б, різними об’єктами дискретної математики існує такий зрозу­мілий і глибокий зв’язок. Цей зв’язок можна перенести на співвід­ношення розділів “Теорія відношень” і “Теорія графів” дискретної математики. З одного боку, ці розділи своїми результатами мають доповнювати один одного, а з іншого боку, залежно від специфіки, .. прикладну задачу можна формулювати у зручній термінології.

Мережі і задачі на мережах. Потоки у мережах. Визначення мережі, потоку і розрізу. Теорема Форда-Фалкерсона. Найпростіші алгоритми вирішення задачі про максимальний потік. Практичні задачі і мережі. Мережі Петрі. Практична необхідність і виконання мереж Петрі. Визначення і основні властивості.

Необхідно сформувати уявлення про сітки, потоки в сітках і проблеми визначення максимального потоку. Термінологія й засоби описання сіток та багатьох Їхніх понять беруть початок від теорії графів, у той час як алгоритми розв’язання проблеми є предметом дослідження операцій.

Варто вивчити основоположні результати Форда і Фалкерсона для найпростіших сіток і спробувати поширити ці результати на випадок складніших сіток, наприклад з кількома витоками та/або кількома стоками.

Рекомендується дослідити визначення, основні властивості та проблеми аналізу й застосування сіток Нетрі; задати граф взаємозв'язку всіх розділів курсу і спробувати встановити перелік реальних проблем, що вирішуються застосуванням засобів і методів дискретної математики.

Графи відображають структуру багатьох реальних об’єктів і цей факт потрібно постійно використовувати при їх вивченні.

Вправи до теми 3.1.