- •І. Зміст дисципліни
- •Роздiл 1. Проблематика і взаємозв'язок розділів курсу: передумови, рішення, перспективи
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Роздiл 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід.
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Тема 4.1. Формальні граматики і мови.
- •Тема 4.2. Алгебраїчні моделі формальних мов.
- •Тема 5.1. Скінчені автомати, їх аналіз і синтез.
- •Тема 5.2. Нескінчені автомати.
- •Тема 5.3. Автомати і граматики. Синтаксичний аналіз.
- •Тема 6.1. Алгебра висловлювань.
- •Тема 6.3. Логіка предикатів.
- •Тема 1.1. Загальний аналіз засобів моделювання дискретної математики.
- •Тема 1.2. Лінгвістичні моделі дискретної математики.
- •Розділ 2. Вступ до алгебраїчних систем
- •Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід
- •Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
- •Тема 3.1. Загальні властивості графів.
- •Вправа 1. Задано граф матрицею суміжності r .
- •Тема 3.2. Прикладні та комбінаторні проблеми теорії графів.
- •Тема 3.3. Алгоритми розв'язання проблем, сформульованих у термінах графів.
- •Вправа 12. Розглянемо дерево гри, в якому використовуються 6 кульок та гравці 1 і 2 вибирають по черзі від одної до трьох кульок. Гравець, який взяв останню кульку вважається переможцем.
- •Література
Роздiл 2. Вступ до алгебраїчних систем
Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід.
Лекція 2.1.1. Поняття алгебри. Класи алгебр з однією і двома операціями Загальна характеристика алгебраїчного підходу і його роль в управлінні та проектуванні. Необхідність його виникнення на прикладі груп в історичному аспекті. Алгебра і прикладна алгебра. Поняття алгебри. Носій, сигнатура, алгебраїчна система, алгебра, модель. Роль властивостей операцій та аксіоматичне визначення. Вирази та спрощення. Аналіз властивостей операцій (комутативність, асоціативність, наявність одиниці і зворотних елементів) і встановлення типу алгебри. Алгебри з однією операцією: напівгрупа, моноїд, група. Алгебри з двома операціями: кільце, комутативне кільце, поле. Приклади алгебр з двома операціями. Аналіз властивостей і встановлення типу алгебри. Абстрактні операції і алгебри.
Лекція 2.1.2. Розвиток уявлень про алгебраїчні системи. Решітка як алгебра. Еквівалентність двох визначень решітки. Ускладнення математичних об’єктів, морфізми: ендоморфізм, ізоморфізм. Розширення уявлень про решітки. Дистрибутивні і бульові решітки.
Лекція 2.1.3. Класи алгебр, що включають у носій більше одного класу математичних об'єктів. Багатоосновні алгебри. Лінійний векторний простір. Векторні простори і лінійні перетворення (оператори). Лінійна алгебра. Матричне зображення лінійних алгебр.
Лекція 2.1.4. Алгебри Кантора і Буля. Алгебра Кантора, визначення і властивості. Алгебра Буля, визначення і властивості. Зв’язок алгебр Кантора і Буля. Функції алгебри логіки. Визначення. Функції від двох аргументів. Суперпозиція. Функції та формули. Таблиці і зображення формулами функцій. Мінімізація зображень.
Лекція 2.1.5. Алгебра відношень та реляційна алгебра. Теоретико-множинні та додаткові операції на відношеннях. Алгебра відношень. Селекція, проекція, зєднання. Їх властивості. Реляційна алгебра. Приклади застосування операцій. Мови типу SQL.
Лекція 2.1.6. Числові системи як алгебраїчні системи. Напівгрупа натуральних чисел. Числові кільця і поля. Доведення властивостей. Єдність засобів моделювання дискретної математики. Метод дискретної математики та структуризація. Проблема визначення підмножин структур. Алгебраїчний підхід.
Тема 2.2. Алгебри, підалгебри, базиси.
Лекція 2.2.1. Підалгебри і системи твірних. Універсальні алгебри, підалгебри і проблема породження. Замикання множини за операцією. Властивості теоретико-множинних операцій над замкненими множинами. Аналіз властивостей і встановлення типу алгебри. Приклади алгебраїчних систем і систем твірних.
Лекція 2.2.2. Максимальні підалгебри та їх властивості. Максимальні підалгебри. Приклади максимальних під алгебр. Співвідношення між максимальними підалгебрами. Властивості максимальних під алгебр. Результати Поста про повноту. Базиси.
Лекція 2.2.3. Повнота систем функцій алгебри логіки. Функції алгебри логіки. Функціонально-замкнені класи функцій алгебри логіки. Передповні функціонально-замкнені класи функцій алгебри логіки. Монотонні, лінійні функції, інші цікаві класи функцій. Властивості булевих функцій та їх класів. Теорема Поста і встановлення повноти деяких систем функцій алгебри логіки.
Разділ 3. Теорія графів і мереж