Розділ 2. Вступ до алгебраїчних систем

У розділі вказана рекомендована література з кожної теми розділу, описані труднощі, які можуть виникнути при самостійному вивченні, та способи подолання їх, наводяться вправи та приклади їх виконання.

Тема 2.1. Загальне уявлення про алгебраїчний підхід

[3, гл.7, § 1, 3, 6, 7; гл.1, § 1, 2; гл.5, § 1, гл.10, § 1, 2; 25, гл.3, § 2. 3; 2, гл.2, 6. 7, 8, 9, § І, 2, 5, 7; 3. гл.1, § 3. 4; 16, гл.1, § З, 4, 5; 28, гл.2, § 2; 8, гл.1]

Вказівки щодо використання літературних джерел.

Поняття алгебраїчної системи та алгебри зручно використовувати при дослідженні множин, на яких задані операції, властивості яких становлять інтерес для дослідника.

Необхідно закріпити уявлення про алгебраїчну систему й дослі­дити фундаментальні алгебри: напівгрупу, моноїд, групу, кільце, поле, булеву алгебру й алгебру Кантора, алгебру відношень. На прикладі алгебри відношень ще раз проаналізуйте підхід математики до ускладнення об’єктів. Використовуючи поняття множини й операції ми визначаємо відношення. Алгебра відношень - це система. Множина відношень в тільки одним з елементів цієї системи поряд з операціями над відношеннями.

Далі треба приступити до визначення кола проблем, для розв’я­зання яких зручним апаратом є алгебраїчні системи. Наочним уяв­ленням про корисність алгебраїчного підходу до проектування систем обробки інформації є застосування алгебри відношень до описання процесів інформаційного пошуку.

Інформація про об’єкт управління зберігається часто у вигля­ді файлів записів. Запис складається із значень однакового набору реквізитів. Нехай R_i - набір значень реквізиту r_i, i=1,..., n. Нехай Z_j означає набір реквізитів (r₁^j, r₂^j, …r_m^j) запису файла j, j= 1,…, k.Тоді всі записи файла j_j можна розглядати як графік відношення Z_j на множинах R₁^j  R₂^j … R_m^j де R_p^j - набір значень реквізиту r_p^j, p=1,…, m.

Таким чином можна зобразити всі файли записів. Очевидно, всі k файлів представлятимуть підмножину множини R усіх можли­вих відношень на множинах значень R₁,…,R_n. Отже, обробку файлів можемо описати в алгебраїчній системі відомій під назвою алгебри відношень.

Тепер злиття файлів з однаковими наборами реквізитів можна описати як операцію об’єднання відповідних їм відношень в алгебрі відношень.

Якщо треба знайти збіжні записи файлів з однаковими наборами реквізитів, можна скористатися операцією перетину алгебри відно­шень. Аналогічно можна знайти застосування й іншим операціям алгеб­ри відношень для описання обробки файлів записів.

Природно, обробка файлів вимагатиме дій, які неможливо описа­ти операціями алгебри відношень, наприклад вибрати з файлу запи­сів той запис, значення реквізитів якого задовольняють і деяк і з умов. Тому виникла потреба розширення множини операцій над відношеннями. 3’яйилиоь операції вибірки, проекції, з’єднання, виникла реляційна алгебра, яка буде об’єктом вивчення дисципліни “Теорія алгорит­мів і математичні основи представлення знань”.­

Для закріплення тези про тісний зв’язок різних розділів дискретної математики, треба сформувати уявлення про решітку як алгебру певного типу з певним набором властивостей операцій. В попередньому розділі, грунтуючись на уявленнях про межі й грані, ми вивчили решітки як частково упорядковані множини, в яких кожні два елементи мають верхню й нижню грані. Виявляється, що еквівалентним об’єктом є алгебра з двома операціями з певними властивостями. Рекомендується дослідити еквівалентність визначень. При встановленні еквівалентності визначень решітки дуже важливо пов’язати операції алгебри з гранями. Рекомендується розглянути достатню кількість прикладів еквівалентних об’єктів.

А налізуючи різні види решіток, намагайтеся розглядати не тільки приклади визначених математичних об’єктів, але й приклади об’єктів, які не відповідають визначенню, щоб працювати не тільки з притаманними ознаками, але й з ознаками, що повинні бути відсутніми. Наприклад, продемонструємо решітку, яка не належить до дистрибутивних

Дійсно, легко підібрати три елементи відносно яких не виконується

умова дистрибутивності: b (de)  (bd)  (be)

Особливе місце в дискретній математиці належить ізоформізму та проблемі його розпізнавання. Рекомендується вивчати ізоморфізм об’єктів, що розглядаються в кожній темі, після проходження даної теми основного курсу, а потім узагальнити проблему ізоморфізму після закінчення основного курсу, у зв’язку з тим, що ізоморфізм притаманний об’єктам різних розділів.

Розпочати слід з уявлення про те, що у дискретній математиці для утворення нових складних об’єктів часто використовуються узагальнення, агрегування більш простих. Дійсно, введення множин і операцій над ними дозволило ввести поняття функції й відношення. Потім сукупність множин і заданих на ній операцій ми почали розглядати як новий математичний об’єкт - алгебраїчну систему. Природно, що наступний рівень ускладнення об’єктів шляхом узагальнення раніше визначених вже має за логікою розвитку включати алгебраїчні системи й відображення їх одна в одну.

Справді, саме цим цілям і служить морфізм, під яким в найзагальнішому плані розуміється відображення або функція, що зберігає основні властивості об’єкта (операції, порядок і т.п.) у другому об’єкті. Морфізм вводиться для алгебраїчних систем, упорядкованих множин, автоматів, графів та інших об’єктів.

Зручно показати відомі приклади морфізму алгебраїчних систем. Розглянемо морфізм алгебр з однією операцією - моноїдів.

Нехай <R, ○, 1_R > і <S,  , 1_S > - моноїди. Морфізмом моноїдів називається функція : R S , яка переводить операцію ○ над носієм R в операцію  над носієм S і зберігає одиницю, тобто виконуються такі умови:

І/  (r_i о r_j ) =  (r_i )   (r_j) для будь-яких r_i, r_j  R,

2/  (1_R ) = 1_S .

Відомим прикладом морфізму моноїдів < Q₁, •, 1 > I <Q₂, + , 0 > є функція

y = lп ( х), х  Q₁, у  Q₂.

Дійсно, виконуються обидві умови:

lп ( х₁ • x₂) = y₁+ y₂ = lп( х₁) + lп(x₂);

lп (1) = 0.

Доцільність введення поняття морфізму доводить наведений приклад і полягає вона у реалізації можливості перенесення результатів дослідження однієї алгебраїчної системи на іншу, менш досліджену. Важливо зрозуміти особливості різних видів аморфізму: сюр’єктивного морфізму, який називають епіморфізмом, ін’єктивного, який називають мономорфізмом, бієктивного, який називають ізоморфізмом.

Рекомендується розширити свої уявлення про ізоморфізм алгебраїчних систем [2; 3], відношень [2; 3], скінчених автоматів [28], графів [16], які розглядаються у наступному розділі.

Потім рекомендується перейти до узагальнення факторизації для задання груп (фактор-групи), кілець (фактор–кільця). При цьо­му необхідно сформувати уявлення про важливі алгебраїчні поняття, такі як ядро, ідеал.

Для зв’язку алгебраїчних понять з відомим матеріалом необхідно:

1) сформувати уявлення про відомі числові системи, як про алгебраїчні системи: множина додатних цілих чисел з операціями додавання та множення; множина додатних і від’ємних цілих чисел та нуль з операціями додаван­ня й множення; множина раціональних чисел з тими ж самими операція­ми і інші;

2) переконатися в тому, що аналіз числових систем як алгеб­раїчних дає змогу отримувати нові результати про їхні властивості.

Вправи до теми 2.1.

Вправа 1. На множині Т задати операцію так, щоб алгебра < Т, ○> була напівгрупою.

Варіанти множини Т :

1) T = {a₁, a₂, a₃}; 2) T = {b₁, b₂, b₃};

3) T = {c₁, c₂, c₃}; 4) T = {d₁, d₂, d₃};

5) T = {e₁, e₂, e₃}; 6) T = {f₁, f₂, f₃};

7) T = {g₁, g₂, g₃}; 8) T = {h₁, h₂, h₃};

9) T = {i₁, i₂, i₃}; 10) T = {j₁, j₂, j₃}.

Приклад: Нехай T = {t₁, t₂, t₃}. Задамо операцію ○ так, щоб алгебра < Т,○ > була напівгрупою, таким способом:

t₁ ◦ t₁ = t₁; t₁ ◦ t₂ = t₁; t₁ ◦ t₃ = t₁;

t₂ ◦ t₁ = t₂; t₂ ◦ t₂ = t₂; t₂ ◦ t₃ = t₂;

t₃ ◦ t₁ = t₃; t₃ ◦ t₂ = t₃; t₃ ◦ t₃ = t₃.

Легко перевірити, що задана таким способом операція ○ на множині Т асоціативна. Дійсно, у якому б порядку не виконувалася операція (t_i ◦ t_j) ◦ t_k чи t_i ◦(t_j ◦ t_k), результатом завжди буде перший з трьох операндів, тобто (t_i ◦ t_j) ◦ t_k = t_i ◦(t_j ◦ t_k).

Вправа 2. На множині вправи 1 задати операцію ○ так, щоб алгебра <Т, ○, t_i>, де t_i  Т, була б моноїдом.

Приклад: Нехай T = {t₁, t₂, t₃}. Якщо задати операцію ○ як у прикладі до вправи 1, то виділеного елемента t_i  Т, що має властивість t_i ◦ t_j = t_j ◦ t_i = t_j для кожного t_j  Т не існує. Таким чином, необхідно перевизначити операцію ○ відповідним способом. Оберемо одиницею елемент t₁. Тоді можна вимагати:

t₁ ◦ t₁ = t₁; t₁ ◦ t₂ = t₂; t₂ ◦ t₁ = t₂;

t₃ ◦ t₁ = t₃; t₁ ◦ t₃ = t₃ .

Залишається справедливим:

t₂ ◦ t₂ = t₂; t₃ ◦ t₃ = t₃.

Для задання операції ○ на елементах t₂ та t₃ важливо тільки дотримуватися властивості асоціативності і тому приймаємо

t₂ ◦ t₃ = t₂; t₃ ◦ t₂ = t₃ .

Легко перевірити, що задана операцію асоціативна, що є елемент, який виконує роль одиниці, і тому < Т, ○, t₁ > - це моноїд.

Вправа 3. На множині Т вправи 1 задати операцію ○ так, щоб алгебра < Т, ○, t_i^-1 >, де t_j  Т - одиниця; ^-1 - знак оберненого елемента, була б групою.

Приклад: Нехай T = {t₁, t₂, t₃}. Очевидно, алгебраїчна система попереднього прикладу не є групою, оскільки не кожний елемент множини Т має обернений.

Спробуємо перевизначити операцію ○ так, щоб за одиниці t₁ елементи t₂ та t₃ мали обернені. Нехай t₃ ◦ t₂ = t₁, t₂ ◦ t₃ = t₁; t₂ ◦ t₂ = t₃; t₃ ◦ t₃ = t₂. Залишаємо без зміни інші рядки визначення операції ○ попереднього прикладу.

Очевидно, що система < Т₁, ○, t₁ > - група. Дійсно, є одиниця t₁ та обернені елементи для кожного елемента множини Т( t₁^-1 = t₁, t₂^-1 = t₃, t₃^-1 = t₂). Легко пересвідчитись в асоціативності операції ○.

Вправа 4. Чи можливо визначити операцію ○ так, щоб для кожного елемента t_j  Т (хоча б для більше ніж двох елементів множини Т) виконувалася умова t_i ◦ t_i = t_i, так щоб алгебраїчна система < Т₁, ○, t_j^-1 >, де t_j  Т – одиниця, ^-1 - знак оберненого елемента, була б групою? Якщо ні, то чому?

Вправа 5. Нехай задана множина T = {t₁, t₂, t₃, t₄}. Встановити тип алгебраїчної системи < Т₁, ○ >, де ○ - операція на множині Т, задана однією з наведених таблиць

1) 2)

	t1	t2	t3	t4			t1	t2	t3	t4
	t2	t3	t4	t1		t1	t1	t2	t3	t4
	t3	t4	t1	t2		t2	t2	t2	t3	t4
	t4	t1	t2	t3		t3	t3	t3	t3	t3
t4	t1	t2	t3	t4		t4	t4	t2	t3	t4

3) 4)

	t1	t2	t3	t4			t1	t2	t3	t4
t1	t2	t2	t3	t1		t1	t1	t2	t3	t4
t2	t1	t3	t3	t2		t2	t2	t3	t1	t4
t3	t1	t2	t1	t3		t3	t3	t1	t4	t1
t4	t1	t2	t3	t4		t4	t4	t2	t1	t2

Вправа 6. Графіки двох відношень Т₁ та Т₂ на декартовім добутку R₁  R₂  R₃  R₄  R₅  R₆, де R₁ - множина прізвищ студентів; R₂ - множина студентських груп; R₃ – множина назв дисциплін, які вивчаються; R₄ – множина прізвищ викладачів; R₅ – множина оцінок; R₆ – множина дат, задані відповідно такими таблицями:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергіенко	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	5	10. 06. 03
Білецький	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	4	10. 06. 03
Гриша	ІА-02	АМП	Малюков	3	01. 06. 03

Необхідно задати за допомогою таблиць відношення Т₁ ∩ Т₂, Т₁  Т₂, Т₁\ Т₂, Т₁  (Т₂ \ (Т₁ ∩ Т₂ )) та дати їх змістовну інтерпретацію.

Вправа 7. Яке відношення було б здатним служити універсальною множиною для виконання операції доповнення над відношеннями Т₁ та Т₂ вправи 6.

Вправа 8. Нехай задана множина B = {0,1}. Можна визначити чотири різних функції iз множини В в множину В. Позначимо їх так:

f₁ = {(0,0), (1,1)}; f₃ = {(0,0), (1,0)};

f₂ = {(0,1), (1,0)}; f₄ = {(0,1), (1,1)}.

Необхідно встановити замкнутість операції правої композиції  на множині F = {f₁, f₂, f₃, f₄} та тип алгебраїчної системи <F , >.

Вправа 9. Встановити замкнутість операції лівої композиції ○ на множині F та тип алгебраїчної системи <F, ○> .

Вправа 10. Встановити властивості операцій та тип алгебраїчної системи <Z, +, • >, де +, • - відповідно додавання та множення.

Вправа 11. Встановити зв’язок між нулем та одиницею адитивної та мультиплікативної операцій довільного кільця на множині Z.

Вправа 12. Навести приклад області цілісності та показати, що виконується властивість, яка виділяє клас областей цілісності із кілець.

Вправа 13. Навести приклад поля та показати, що виконується властивість, яка виділяє клас полів та кілець.

Вправа 14. Навести приклад кільця, яке не є полем.

Вправа 15. Встановити властивості операцій та тип алгебраїчної системи <С, +, •>, де с  С має вигляд x + iy, i =  -1, x та y - раціональні числа. Операції визначаються так:

(x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂ ) + i ( y₁+i y₂);

(x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂+ y₁ x₂).

Вправа 16. Встановити властивості операції додавання на множині натуральних чисел N та тип алгебраїчної системи <N, +>.

Вправа 17. Встановити властивості операції множення на множині натуральних чисел N та тип алгебраїчної системи <N, •>.

Вправа 18. Встановити тип алгебраїчної системи <N, +, • >.

Вправа 19. Визначити бінарні операції алгебраїчної системи за допомогою операції алгебраїчної системи Пеано < N, ○ >.

Вправа 20. Доповнити носій алгебри із вправи 10 теми 2.1 таким способом, щоб одержати множину, на якій визначені операції додавання, множення, віднімання.

Вправа 21. Доповнити носій алгебри із вправи 10 теми 2.1 таким способом, щоб одержати множину, на якій визначені операції додавання, множення, віднімання та ділення.

Вправа 22. Установити властивості операції додавання багаточленів вигляду

a₀ + a₁ x + ... + a_i xⁱ + … +a_n xⁿ , a_n ≠ 0, i  N, a_i  Z.

Вправа 23. Установити властивості операції множення багаточленів із вправи 22.

Вправа 24. Установити тип алгебраїчної системи <M, + > , де M - множина багаточленів із вправи 22; " + " - операція додавання багаточленів.

Вправа 25. Установити тип алгебраїчної системи <M, • >, де M - множина багаточленів із вправи 22, ".• " - операція множення багаточленів.

Вправа 26. Установити властивості додавання та множення багаточленів вигляду

a₀ + a₁ x + ... + a_i xⁱ + … +a_n xⁿ , a_n ≠ 0, i  N, a_i - раціональне число.

Вправа 27. Установити тип алгебраїчної системи < M, +, • > з операціями додавання та множення багаточленів із вправи 26.

Вправа 28. Установити тип алгебраїчної системи < M, +, • > з операціями додавання та множення багаточленів із вправи 22.

Вправа 29. Установити, чи є алгебраїчною системою пара < N, ->, де "-" - операція віднімання.

Вправа 30. Установити, чи є алгебраїчною системою пара < Z, ->, , де "-" - операція віднімання. Якщо відповідь позитивна, то установити, чи є така алгебра напівгрупою, моноїдом чи групою.

Вправа 31. Установити тип алгебраїчної системи < Z, -, •>, де "-" операція віднімання; ".• " - операція множення.

Вправа 32. Установити тип алгебраїчної системи < Q, +, •>.

Вправа 33. Установити, чи є алгебраїчною системою трійка < Z, +, / >, де "/" - операція ділення.

Вправа 34. Установити, чи є алгебраїчною системою трійка < Q, +, / >.