Вопрос 10. Однофакторные стохастические процессы. Основные виды моделей. Выбор аналитической формы модели. Оценка параметров. Критериальная проверка качества.

Набор случ. переменных X(t), где t – вещественные числа, наз-ся стохастическим процессом. Дискретный стохастический процесс определяется как последовательность случ. переменных X(t), где t=t₁, t₂, …,t_T, или X₁, X₂, …,X_T,…. Конечная реализация x₁, x₂, …,x_T дискретного стохастического процесса X₁, X₂, …,X_T,…. называется временным рядом. Стохастический процесс X_t наз. стационарным в сильном смысле, если совместное распределение вероятностей всех переменных точно то же самое, что и для переменных

Под стационарным процессом в слабом смысле понимается стох. процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными. Автоковариация как функция длины лага τ: называется автоковариационной функцией. При τ=0 ее значение равно дисперсии. Проведя нормировку , получим автокорреляционную функцию стационарного стох. процесса: , где Временной ряд x₁, x₂, …,x_T, т. е. конкретная реализация стац. стохастического процесса X_t, также наз-сястационарным.

Модели авторегрессии Общий вид модели ар(k):

где у_t, у_t–i, i=1,2,... , k – значения переменной у в соответствующие моменты времени; k – порядок модели; ₁,..., _k – коэфф-ты модели; _t – случайная ошибка

_tN(0,_²), Cov()=_² E. Построение модели АР(k) типа (6.45), адекватной реальному временному ряду у_t, t=1,2,..., Т, предполагает: определение рационального порядка модели (k) и оценки значений ее коэфф-ов. Рассм. подходы к оценке параметров модели типа (6.45). Пусть M[у_t]=0. В противном случае вместо переменной у_tв выражении (6.45) можно рассм. центрированную , , где – оценка M[у_t], M[ ] = 0. Из (6.45): параметры модели ₁,..., _k м. б. выражены через коэфф-ты автокорреляции. Умножим (6.36) под знаком МО на у_t–i, i=1,2,..., k. Получим

где M[у_t-i,у_t--j] – МО произведения двух центрированных переменных у_t–i,у_t–j, представляющее собой их ковариацию _r, на практике оцениваемую по формуле

где r=i–j , ij.

В р-те для i=1,2,..., k вместо (6.46) можно записать

(6.48) получено в предположении, что M[у_t-i, _t]=0 при i0, т. к. _t – случайная величина со свойствами “белого шума”, не имеющая корреляционной связи с предшествующими моменту t значениями рассматриваемого процесса у_t. Разделив левую и правую части (6.48) на дисперсию процесса у_t_у²=₀, получим:

Подставив в (6.49) вместо истинных значений коэфф-ов автокорреляции _i процесса у_t их выборочные оценки r₁, r₂,..., последовательно для i=1,2,..., k, получим систему лин. ур-й:

в кот.известными явл. оценки коэф-в автокорреляции r₁, r₂,..., r_k, а неизвестными – оценки коэф-в модели АР(k) a₁ , a₂ ,..., a_k. Систему (6.50) называют ур-ми Юла-Уокера, а полученные на ее основе значения a₁, a₂,..., a_k– оценками коэфф-ов модели авторегрессии АР(k) Юла-Уокера. В векторно-матричной форме записи (6.50) можно переписать: r= Ra, (6.53), где r – вектор-столбец известных оценок коэфф-ов автокорреляции с первого по k-й включительно, r=(r₁, r₂, ..., r_k); a – вектор-столбец неизвестных оценок параметров модели, a=(a₁, a₂,..., a_k); R – матрица, составленная из оценок коэфф-ов автокорреляции. Из (6.53): неизвестные оценки коэфф-ов модели авторегрессии определяются как a= R^–1r (6.54) Теоретически оценки Юла-Уокера должны обладать свойствами несмещенности и эффективности. Однако, на практике, в моделях авторегрессии большого порядка эти свойства могут не подтверждаться. Особенно это относится к свойству несмещенности. Смещенность в оценках коэфф-ов моделей авторегрессии может быть обусловлена существующей зависимостью между сдвинутыми рядами рассматриваемой переменной у_t–1, у_t–2 и ошибкой _t. Этой возможной зависимостью при построении системы уравнений Юла-Уокера обычно пренебрегают, полагая _t белым шумом. Неэффективность оценок может быть вызвана плохой обусловленностью матрицы R, что, как правило, является свидетельством зависимости уже между рядами у_t–1, у_t–2,... . При небольших порядках модели (k =1,2,3) оценки Юла-Уокера обычно являются достаточно “хорошими”. В крайнем случае их можно рассматривать как первое приближение к “оптимальным” оценкам, которые могут быть получены путем уточнения оценок Юла-Уокера на основе использования более мощных методов оценивания, например, нелинейных. Качество оценок Юла-Уокера может быть проверено путем исследования свойств ряда ошибки _t, t=1,2,..., Т. Если ее свойства близки к характеристикам “белого шума”, то оценки Юла-Уокера можно считать “достаточно хорошими”. Об этом, в частности, может свидетельствовать критерий Дарбина-Уотсона, значение которого должно лежать примерно в интервале от 1 до 3. Для этих целей могут использоваться и другие мощные критерии, например, Бартлетта, Тейла. Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии. Целесообразность исп. моделей авторегрессии в анализе закономерностей временного ряда устанавливается на основе сопоставления дисперсии исходного процесса _у²и дисперсии ошибки модели _². Для того чтобы выявить взаимосвязь между двумя этими характеристиками положим, что в (6.48) i=0. Тогда это выражение можно переписать в виде:

где ₀=_у², _i – i-й коэфф-т автоковариации. Последнее слагаемое в правой части (6.55) получено путем замены в выражении (6.46) в произведении M[y_t_t] переменной y_t на (6.45). Поскольку ряды у_t–1,..., у_t–k и _t являются независимыми, то это произведение оказывается равным _². Далее, поскольку _i =_i₀, то выразив все _i, i=1,2,..., k через ₀и перенеся слагаемые с ₀в левую часть, из выражения (6.55) получим

Подставив в (6.56) вместо _i значения оценок коэфф-ов автокорреляции r_iи вместо параметров модели _i их оценки а_i, i=1,2,... , k, найдем величину соотношение между дисперсией процесса _у²и дисперсией ошибки описывающей этот процесс модели авторегрессии (белого шума) _².

Модель авторегрессии считается “достаточно хорошей”, если _у²_², т. е. когда дисперсия ошибки модели много меньше дисперсии процесса. В этом случае использование модели при описании процесса y_t позволяет значительно снизить его неопределенность, выражаемую через дисперсию _у².