Модели скользящего среднего

В моделях СС текущее знач. стац. случ. процесса второго порядка y_tпредставляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки _t, _t–1, _t–2,... , по своим свойствам соответствующей “белому шуму”. Такое представление м. б. выражено уравнением (модель СС порядка m – СС(m)):

где ₁, ₂,... , _m – параметры модели. В соответствии с опред. белого шума _t харак-ся свойствами: M[_t]=0, D(_t)=_²=const,

 _i=M[_t, _t–i] =

Вследствие этого автокорреляционная функция белого шума имеет простую форму: _i^()=1, i=0; _i^()=0, i0. (6.70)

С учетом свойств ошибки _t можно построить автокорреляционную функцию модели СС(т), определяемой выражением (6.68). Ее коэфф. ковариации i-го порядка опред. след.образом:

При i=0 (6.71) представляет собой дисперсию процесса y_t, кот. в силу свойства (6.69) выр-ся через коэфф-ты модели СС(т) _i, i=1, 2,..., т; и дисперсию ошибки _²:

Для i=1 из (6.72) получим, что первый коэфф. ковариации:

Для произвольного i:

Из (6.74) вытекает, что автокорреляционная функция модели СС(т) становится равной нулю после задержки т (обрывается на задержке т). С учетом выражений (6.72) и (6.74) коэфф-ты автокорреляции модели скользящего среднего т-го порядка – СС(т) определяются через ее параметры _i, i=1, 2,..., т:

Систему (6.75) исп. для получ. оценок b₁, b₂,... , b_mнеизв. параметров модели СС(т) – ₁, ₂,... , _m. Подставим в каждое ее уравнение вместо значений коэфф-ов автокорреляции ₁,..., _m рассматриваемого процесса y_t их рассчитанные оценки r₁,..., r_m. Эта система нелинейная и ее решение требует использования специальных итеративных процедур расчетов за исключением наиболее простой модели СС(1):

Из (6.72) дисперсии процесса _у²и ошибки этой модели _² связаны соотношением:

а ее единственный отличный от нуля первый коэфф. автокорреляции выражается через коэффициент модели как

Из соотношения (6.78) получим квадратичное уравнение относительно оценки b₁ неизвестного параметра ₁

где r₁ – оценка коэфф. автокорреляции первого порядка процесса y_t, т. е. ₁.

Из (6.79): сущ-ют два реш. этого ур-я, связанные соотношением:

Условию стационарности процесса y_t удовлетворяет только решение b по абсолютной величине меньшее единицы. Оно может быть получено из выражения:

при условии, что

Из (6.82): модели СС первого порядка могут применяться только для описания процессов с автокорреляционной функцией, обрывающейся после первой задержки и коэфф. автокорреляции по абсолютной величине не превышающем 0,5. Из (6.82) вытекает, что данные модели способны лишь незначительно уточнить рассматриваемый процесс y_t, поскольку согласно (6.77) макс. соотношение между его дисперсией и дисперсией ошибки не превосходит 1,25: _у²/_² 1,25 , (6.83) т. е. относительный выигрыш в точности не превосходит 25% для дисперсий (чуть более 11% для среднеквадратических ошибок).

Модели авторегрессии-скользящего среднего

Общий вид модели АРСС(k, т):

где ₁,..., _k, ₁,... , _m – коэфф-ты модели; k – порядок авторегрессии; т – порядок скользящего среднего. Модель (6.87) м. б. преобразована либо в модель авторегрессии АР(k)

где ошибка _t удовлетворяет свойствам процесса скользящего среднего порядка т; либо в модель скользящего среднего – СС(т) путем выражения переменных у_t–i через линейные комбинации ошибок.

и дальнейшего приведения подобных членов после раскрытия скобок. Для этих модификаций модели (6.87) рассмотрим св-ва ее автокорреляционной функции и подходы к оценке ее параметров. При сдвигах, превышающих по своей величине порядок скользящего среднего т, т. е. при iт, коэфф-ты автоковариации модели АРСС(k, т), определяемой (6.87), не зависят от ошибок модели. В самом деле,

Если iт, то в силу свойств белого шума все МО произведений ошибок _t–j и _t–i–j , jт, равны нулю, т.е. M[_t-j;_t-i-j ]=0, i=т+1, т+2,...; j=1, 2,..., т. В этом сл. значения коэфф-ов автоковариации модели АРСС(k, т) удовлетворяют свойствам этих коэфф-ов, характерным для модели авторегрессии k-го порядка АР(k):

Из (6.91) вытекает, что неизвестные значения коэфф-ов₁,..., _k в этом сл. м. б. оценены из модификации с-мы ур-й Юла-Уокера, имеющей в данном сл. следующий вид:

где r_i= r_–i и r₀1. С использованием найденных из (6.92) значений оценок коэфф-овa₁,..., a_kна основании (6.88) сформируем процесс СС(т)

где u_t – фактическая ошибка, являющаяся оценкой ошибки _t. Значения ошибки u_t получают путем подстановки в (6.88) вместо неизвестных параметров ₁,..., _k их оценок a₁,..., a_k, определенных из (6.92). e_t – фактическая ошибка, значение которой используется вместо истинной ошибки _t при оценке коэфф-ов скользящего среднего. Для определения оценок b₁,... , b_mкоэфф-ов скользящего среднего применяются нелинейные методы оценивания, предполагающие решение системы нелинейных уравнений типа (6.75).

Рассмотрим АРСС(1,1).

Для определения дисперсии этой модели умножим под знаком МО левую и правую части выражения (6.94) на у_t. Получим

При выводе (6.95) учтено, что в силу свойств процесса “белого шума” _t . Далее, умножив под знаком МО левую и правую части выражения (6.94) на _t–1, получим

поскольку Аналогично, первый коэфф. автоковариации процесса у_t получим, умножив под знаком МО левую и правую части (6.94) на у_t–1. С учетом того, что и в силу свойств белого шума _t, получим, что

Из (6.95)–(6.97): дисперсия _у²процесса у_t, описываемого моделью АРСС(1,1), его 1-ый коэфф-т автоковариации ₁ и дисперсия ошибки _t связаны соотношениями:

а коэфф-ты автоковариаций более высоких порядков (как следует из (6.91) и (6.92)) – соотношениями вида:

Из (6.98) получим выражение, определяющее значение первого коэфф. автокорреляции процесса АРСС(1,1)

Значения коэфф-ов автокорреляции более высоких порядков связаны соотношением аналогичным (6.99)

Т. о., значения коэфф-ов автокорреляции модели АРСС(1,1) подчиняется экспоненциальному закону

где