Вопрос 11. Корреляционно-дисперсионный анализ переменных, выраженными количественными и качественными показателями.

Корреляционно-дисперсионный анализ порядковых данных

Проведем структурный анализ связей в признаковом пространстве на основе таблицы «Основные экономические показатели стран СНГ в 1990 г.» с проранжированными показателями.

Для этого рассчитаем коэффициенты Спирмена и Кендалла.

Для случая отсутствия связанных рангов:

– кол-во объектов

Так как в нашем случае имеются связанные ранги, то применим модифицированный коэффициент Спирмена:

Коэффициент связанности:

, где

- число групп связанных рангов в ранжировкеl

- количество элементов или количество неразличимых элементов в группе под номером t у l-й ранжировки

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.
T(l)	0	0	0	0,5	1	0	0	0	1	0,5	0	0	0	0,5

Модифицированные коэффициенты Спирмена:

	1.	2.	...	n
1.	1	0,021	0,238	0,557
2.		1	0,455	0,459
...			…	…
n				1

Проверка значимости коэффициентов:

- отвергает идентичность ранжировок

Если τ_р.> τ_кр, то то принимается гипотеза H₁, т.е. две исследуемые ранжировки согласованы.

τ_{расчетное}

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.
1.		0,066	0,774	1,540	0,729	0,311	0,492	0,561	2,776	0,391	3,644	0,561	1,462	2,120
2.			1,614	0,436	0,540	1,912	5,172	2,424	0,975	1,037	0,896	0,631	1,614	1,633
3.				1,025	0,222	2,811	2,213	2,919	0,552	0,402	0,847	1,023	3,155	0,357
4.					0,022	0,751	0,166	1,763	1,009	0,189	0,824	0,278	1,142	0,335
…						…	…	…	…	…	…	…	…	…
n

Коэффициент Кендалла:

Рассчитаем коэффициент Кендалла для ранжировок, у которых коэффициенты по Спирмену оказались значимыми.

, где

- количество минимальных перестановок соседних элементов в последовательности r^k необходимое для приведения ее к последовательности r^h,

1, если r_q^h>r_l^h

0, если перестановка не нужна

ПРИМЕР перестановки

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) – такая послед-ть должна быть

(3,1,2,7,5,4,6,10,9,8) – такая последовательность у нас

Треугольная м-ца перестановок,

Пояснение *: 3>1 и 3>2

- модифицированный коэффициент Кендалла

– коэффициент связанности

– число групп связанных рангов в каждой ранжировке

Проверка значимости коэффициентов:

Если , то принимается гипотеза H₁, т.е. две исследуемые ранжировки согласованы.

Отбор информативных признаков

Значимая связь наблюдается у следующих признаков:

1 и 9

1 и 11

…

9 и 14

Исключим следующие признаки (которые чаще всего встречаются в связи с др. признаками – см. выше):

1. Динамика производительности труда (в % к 1989г)

2. Доля экспорта в ВВП (%)

6. Отношение ВВП к числу занятых в экономике

8. Производство электроэнергии на душу населения (тыс.кВтч/чел.)

Сгруппируем объекты в сокращенном признаковом пространстве с учетом отобранных информативных признаков:

		3.	4.	5.	7.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	Σ-й ранг
1)	Азербайджан	9	2	6,5	7	11	7	10	9	11	12	84,5
2)	Армения	7	11	1,5	10	12	11	11	6	8	9,5	87
3)	Беларусь	5	4	1,5	5	3	10	3	2	3	3	39,5
12)	Украина	2	7	5	2	6,5	9	5	4	4	5	49,5

Сформируем группы:

	Беларусь	39,5
1	Россия	49,5
	Украина	49,5
	Молдова	58
2	Туркменистан	58
	Узбекистан	59
	Казахстан	60,5
3	Кыргызстан	66,5
	Таджикистан	70,5
4	Азербайджан	84,5
	Армения	87
	Грузия	97,5

Корреляционно-дисперсионный анализ количественных данных

Исходные данные (вариант № 203):

№ предприятия	Y2	X4	X5	X7	X9	X17
1	204,2	0,23	0,78	1,37	0,23	17,72
2	209,6	0,24	0,75	1,49	0,39	18,39
…
53 (n)	72	0,31	0,74	1,22	0,79	19,41

Y₂ – индекс снижения себестоимости продукции;

X₄ – трудоемкость единицы продукции;

X₅ – удельный вес рабочих в составе ППП;

X₇ – коэффициент сменности оборудования;

X₉ – удельный вес потерь от брака;

X₁₇ – непроизводственные расходы.

Матрица парных коэффициентов корреляции (R)

		1	2	3	4	5	6
		Y2	X4	X5	X7	X9	X17
1	Y2	1	-0,6414	0,234	0,3619	-0,0094	-0,0582
2	X4	-0,6414	1	-0,322	-0,3549	-0,0482	0,1994
3	X5	0,234	-0,322	1	0,4147	0,3627	-0,9402
4	X7	0,3619	-0,3549	0,4147	1	0,2705	-0,3894
5	X9	-0,0094	-0,0482	0,3627	0,2705	1	-0,3775
6	X17	-0,0582	0,1994	-0,9402	-0,3894	-0,3775	1

Парный коэффициент корреляции считается значимым, если t_набл>t_кр

t_кр (α; n– 2) = t_кр (0,05;51) = 2,008

Матрица частных коэффициентов корреляции вычисляется согласно формуле:

, где

R₁₂ – алгебраическое дополнение к элементу r₁₂ корреляционной матрицы R,

R₁₁ – алгебраическое дополнение к элементу r₁₁ = 1,

R₂₂ – алгебраическое дополнение к элементу r₂₂ = 1,

R_ij= , где M_ij- определитель матрицы, получаемой из матрицы R, путем вычеркивания j-ой строки и i-го столбца.

Проверка на значимость частных коэффициентов корреляции при α = 0,05:

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀

отвергается с вероятностью ошибки (0,05), если t_набл>t_кр для заданного n-l-2,

в нашем случаеn = 53, l = 4 (l – это порядок коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов).

t_кр (α; n – l – 2) = t_кр (0,05;47) = 2,01

Если |t_набл| >t_крит, то гипотеза H₀отвергается, т.е. r значим.

t кр =	2,01174
			t набл.	значим,если |t набл| >tкр
	ρ 12/3456 =	-0,50614	-4,02333	+
	ρ 13/2456 =	0,387995	2,886046	+
	ρ 14/2356 =	0,249213	1,76418	-
	ρ 15/2346 =	-0,07929	-0,54532	-
	ρ 16/2345 =	0,410426	3,085599	+
	ρ 23/1456 =	-0,10523	-0,72548	-
	ρ 24/1356 =	-0,10777	-0,74319	-
	ρ 25/1346 =	0,033959	0,232945	-
	ρ 26/1345 =	-0,04532	-0,311	-
	ρ 34/1256 =	-0,07028	-0,48304	-
	ρ 35/1246 =	0,062736	0,430944	-
	ρ 36/1245 =	-0,94107	-19,0754	+
	ρ 45/1236 =	0,174861	1,217549	-
	ρ 46/1235 =	-0,16725	-1,16301	-
	ρ 56/1234 =	-0,04202	-0,28834	-

Интервальные оценки частных коэффициентов корреляции:

, функция нечетная, т.е.

, где t_γ вычисляют по таблице интегральной функции Лапласа, n = 53, а l =4 – порядок коэффициента корреляции, т.е. число фиксируемых факторов.

Чтобы получить интервальные оценки для значимых частных коэффициентов корреляции ρ _{12/3456 ,}

ρ _{13/2456 ,} ρ _{16/2345 ,} ρ _36/1245воспользуемся таблицей Z-преобразования Фишера:

-0,69 ρ _12/3456 -0,26

0,12 ρ _13/2456 0,6

0,15 ρ _16/2345 0,62

-0,97 ρ _36/1245 -0,9

- множественных коэффициентов корреляции

			r2	F набл	F кр	Значим
Y2	r1/23456 =	0,7303	0,53336	10,74402	2,412837	+
X4	r2/13456 =	0,6706	0,44973	7,682518		+
X5	r3/12456 =	0,9579	0,917656	104,7553		+
X7	r4/12356 =	0,5467	0,298895	4,00741		+
X9	r5/12346 =	0,4147	0,171964	1,952157		-
X17	r6/12345 =	0,9564	0,91468	100,7732		+

Проверка на значимость:

, где k = 6 – число факторов, n = 53.

Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т. е. имеет место линейная статистическая зависимость, между X₁ и остальными факторами X₂,...,X_k, если:

Fнабл. >Fкр. (α, k - 1, n - k) , где Fкр определяется по таблице, F-распределения для заданных α,

ν₁ = k - 1, ν₂ = n - k.

Значимыми оказались r₁, r₂, r₃, r₄, r₆.

r₃является наибольшим множественным коэффициентом корреляции.

Уравнение регрессии (в качестве результативного показателя выбран тот, которому соответствует наибольший множественный коэффициент корреляции):X5

X5 = 0,948721 + 0,0000741993*Y2 - 0,0205264*X4 - 0,00905721*X7 + 0,00305865*X9 - 0,0104647*X17