Вопрос 13. Модели бинарного выбора (логит, пробит)

В эконометрических моделях выбора зависимая переменная - вероятность проявления события – ставится в зависимость от уровня ряда факторов, влияющих на возможность его проявления, и (или) его параметров. Содержательное уравнение такой модели может быть представлено в следующем виде:

В зависимости от числа вариантов исходов события (альтернатив) для оценки их вероятностей могут использоваться эконометрические модели бинарного или множественного выбора.

Модели бинарного выбора

В моделях бинарного выбора результирующий показатель может принимать только два значения (1 – событие имело место, 0 – в противоположном случае).

Модели бинарного выбора могут использоваться при оценке вероятности проявления события в рамках биномиального закона. В их основе лежит предположение, что вероятность проявления события в определенный период времени зависит от ряда факторов (вероятность отказа техники зависит от степени ее износа, квалификации персонала, интенсивности загрузки и т.п., вероятность дефолта заемщика зависит от факторов, характеризующих уровень его финансовой устойчивости, кредитоспособности, стабильности рынка и т.д.). Отказ техники в течение какого-либо периода определяется событием y=1, безаварийная работа - y=0.

Исходными данными для построения такого рода моделей являются исходы рассматриваемого события и соответствующие им значения факторов. В случае сгруппированных данных они могут быть представлены в следующем виде:

(1)

где , - характеризует r-е значение наблюдаемой переменной (0 или 1) при i-ом наборе значений объясняющих переменных факторов.

При этом допускается возможность, что один и тот же набор факторов может давать разные исходы.

Набор переменных для каждого i может быть приведен к частному виду. Тогда данным i-й строки, т.е. вектору , соответствует частота проявления события ,

(2)

где - общее число исходов события, соответствующее i-му набору факторов;

=0 или 1.

Модели бинарного выбора оценивают вероятность события ( ) при условии i-ого набора факторов как некоторую функцию распределения , зависящую от значений этих факторов и соответствующих им параметров. При этом функция определена на отрезке [0;1] и обычно форма взаимозависимости параметров - факторов выбирается линейной, хотя последнее предположение и не является обязательным. Для выбранной формы взаимозависимости между параметрами и можно ввести латентную, гипотетическую переменную Z, значения которой в случае линейной формы определяются уравнением:

(3)

В целом на функцию накладываются следующие естественные для функции распространения ограничения:

1. монотонно возрастает с ростом Z

2. (4)

3. при

4. при

На практике среди моделей бинарного выбора наиболее широкое распространение получили пробит- и логит-модели. Пробит-модели используют в качестве функцию стандартного нормального распределения. Согласное ей вероятность проявления события при i-м наборе факторов определяется как

(5)

где .

В логит-моделях функция имеет вид логистической функции

(6)

Оба варианта функции распределения удовлетворяют условию (4) и обладают свойством симметрии относительно Z=0, т.е. F(-Z)=1-F(Z).

Для любого варианта представления относительная частота (выражение (2)) связывается со значением эконометрической зависимостью

, (7)

в которой неизвестными являются коэффициенты .

При этом в соответствии с распределением Бернулли ошибка имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию , которая таким образом оказывается зависимой от переменной . Из этого вытекает, что модель (7) может рассматриваться как эконометрическая модель с гетероскедастическими ошибками.

Можно предложить несколько подходов к оценке параметров модели (7) , базирующихся на использовании метода максимального правдоподобия, нелинейного метода наименьших квадратов и их модификаций.

Согласно нелинейному МНК требуется оценить значения параметров функции , при которых достигает минимума взвешенная по дисперсии сумма квадратов ошибки модели (7), имеющая следующий вид:

(8)

где в качестве функции используются функции, определенные выражениями (5) и (6).

Возможные процедуры оценивания, использующие нелинейный МНК, включают следующие этапы:

1. Выбор исходной точки начала расчетов, т.е. вектор

2. Выбор направления движения к точке оптимума по каждому из параметров, т.е. знака прироста параметра - «+» или «-»,

3. Выбор рациональной величины прироста на r-ом шаге расчетов,

Среди возможных процедур, используемых на практике для оценки оптимальных значений параметров , , выделим процедуры, использующие графический метод, методы линеаризации функционала (метод Маркуардта) и др.

Заметим, что удачное начальное приближение точки начала расчетов позволяет значительно сократить трудоемкость расчетов, которые проводятся до тех пор, пока изменения хотя бы одного из параметров , ведут к уменьшению значения критерия (8). Оптимальным признается такое значение параметра , любые изменения которого ведут к увеличению этого критерия.

На практике приемлемую начальную точку процедуры расчетов можно определить, воспользовавшись линейным приближением функционала , имеющего следующий вид:

(9)

где i – номер наблюдения

j – индекс независимого фактора

Заметим, что для этой модели условное математическое ожидание переменной определяется следующим образом:

(10)

Из выражений (9) и (10) также вытекает, что ошибка модели принимает только два значения с вероятностью и с вероятностью . Это свидетельствует о «ненормальном» характере закона распределения этой ошибки. К другим «некорректностям» модели (9) можно отнести гетероскедастичность ошибки (поскольку она зависит от величины факторов и поэтому не обладает свойством постоянства дисперсии). Кроме того, прогнозные значения , которые по содержанию являются вероятностями события , ничем не ограничены и могут находиться за пределами отрезка [0;1].

Вместе с тем оценка параметров модели (9) на практике не представляет трудностей. Для этого могут быть использованы непосредственно метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия. Найденные с помощью одного из этих методов оценки можно использовать как начальную точку итеративной процедуры поиска оптимума критерия (8).

Модификации модели бинарного выбора, различающиеся между собой в основном переменной Z, нашли достаточно широкое применение при оценке вероятностей дефолта заемщика кредитов. Например, согласно подходу, предложенному корпорацией КМФ, закон распределения вероятностей банкротства заемщика ставится в зависимость от показателя, определяемого как «расстояние до дефолта»:

(11)

где P(D) – вероятность дефолта

В свою очередь это расстояние определяется как количество среднеквадратических отклонений, на которое должна снизиться стоимость активов компании-заемщика, прежде чем она объявит дефолт,

(12)

где ν – стоимость компании, рассчитываемая как случайная величина

- ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение соответственно

Показатель DP определяет точку дефолта компании, т.е. такую стоимость ее активов, при которой компания объявляет дефолт:

(13)

где STD – сумма краткосрочных обязательств компании

LTD – сумма ее долгосрочных обязательств

Функция F должна удовлетворять свойству (4), т.е. F(0)=1 (если дистанция до дефолта равна 0, то его вероятность равна 1, P(D)=1), F возрастает с ростом дистанции до дефолта в пределе до 1 и соответственно P(D) уменьшается в пределе до 0.

В литературе описано достаточно большое количество попыток выразить латентную переменную Z как функцию от факторов, характеризующих финансовую устойчивость предприятий (банка), и с использованием бинарной модели выбора оценить вероятность банкротства каждого из них.