Лекция №2 Кинетическая теория газов

Кинетическая теория газов основана на следующих фундаментальных постулатах:

• материя ( в том числе газ) состоит из молекул одинаковых по размеру, массе, форме (для данной химической субстанции);

• молекулы газа находятся в постоянном движении, объясняемом наличием определенной температуры газа (температура газа – количественный показатель движения молекул);

• распределение молекул по скоростям является стабильным для данной температуры;

• газ является веществом изотропным;

• давление газа на стенки сосуда есть результат удара молекул газа об эту стенку.

Рассмотрим процесс удара молекулы о стенку. Предположим, что молекулы с массой m приближается к стенке со скоростью V . Молекула ударяется о единичную площадку с площадью S и затем летит обратно со скоростью -V. Изменение скорости при ударе (рис. 1) состоит:

ΔV = V- (-V) = 2V

Рис.1

Изменение количества движения при ударе молекулы

F₁ ·Δt = m·ΔV = m2V,

где F₁ – сила удара молекулы;

Δt – время удара.

Откуда, F₁ = 2mV/ Δt

Давление, отнесенное к единицы площади S, как результат удара одной молекулы может быть выражено:

Общее давление на единицу площади S всех молекул, достигающих стенки за время удара Δt (рис.2), может быть записано:

где n_t -количество молекул достигших стенки за время Δt .

Рис.2

При этом за время удара путь молекулы вдоль оси х равен Vx ·Δt . Обозначим символом n_t количество молекул движущихся вдоль оси х и удоряющихся о площадку S. Эти молекулы заключены в объем цилиндра равного Vx ·Δt ·S.

Тогда ,

где n – концентрация молекул газа, м ^-3

Откуда ,

Числитель формул разделен на 2, поскольку только половина молекул, находящихся в рассматриваемом объеме движется к рассматриваемой стенке ( или имеет проекцию вектора скорости, направленную к стенке).Числитель формул разделен также на 3, поскольку вектора молекул ориентированы в пространстве произвольно ( изотропно) относительно трех ортогональных осей координат.

Окончательно: или ,

где - кинетическая энергия молекулы.

Давление можно также выразить как: ,

где - плотность газа.

Последнее уравнение известно ,как закон Бойля. Известно, что после смешения двух различных газов с одинаковой температурой не происходит изменение температуры смеси. Следовательно средняя кинетическая энергия различных молекул одинакова.

Тогда,

где Т – абсолютная температура, К.

k - постоянная Больцмана k = 1,37*10^-23Дж/град.

Можно записать давление как , при этом ; ,

Тогда, :

, ,

где - вес газа..

Откуда получаем:

- закон Шарля

- закон Гей -Люссака

- уравнение Клапейрона - Менделеева

где N_A = 6.023*10²³ моль^-1 – число Авогадро.

Закон Авогадро гласит, что любой идеальный газ ,массой равной молекулярному весу в граммах, при 0 ⁰С и давлении, занимает объем 22414,6 см³.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева следует, что количество газа (пропорциональное весу G) можно определять в ’’PV’’ [м³*Па]единицах. Либо вес газ (при комнатной температуре) можно определить по формуле:

[кг],

где P – давление газа, Па

V – объем, м³

M – молекулярный вес, кг/моль.

Закон Шарля можно также записать:

Соответственно закон Гей- Люссака выглядит так:

где и - температурные коэффициенты изменения объема и давления,

соответственно .

Молекулярную концентрацию газа (при комнатной температуре) можно рассчитать по формуле: моль/м³.

Лекция №3

Скорости молекул

Распределение молекул по скоростям

Максвелла-Больцмана

В 1859г Максвелл и в 1877г Больцман показали, что можно описать распределение молекул по скоростям при данной температуре.

Вспомним основные фундаментальные положения молекулярно-кинетической теории газов:

• газ является изотропной средой , т.е. его свойства по всем направлением одинаковы;

• при любой заданной температуре всегда имеется одна и та же доля молекул с данными скоростями;

• температура газа есть проявление скорости движения молекул:

где k - постоянная Больцмана.

Произвольно ориентированные скорости движения молекул могут быть определены выражением: V² = ,

где - соответствующие проекции рассматриваемой скорости на координатные оси.

Функция распределения скоростей вдоль одной оси , например, Х описывается выражением: ,

где N – количество молекул в рассматриваемом объеме.

Функция распределения скоростей относительно всех трех координатных осей

Функция распределения скоростей молекул для произвольно взятых направлений будет выражена уравнением:

Для ограниченного (заданного) числа молекул N функция будет записана:

Необходимо помнить, что по определению: ;

Дифференцирование полученных выражений по V дает максимум (см. рис. 3), т.е.

значение скорости, наиболее часто встречающейся в распределении – наиболее вероятной скорости V_p

(при ₎

где Т - температура газа, К;

M – молекулярный вес газа , кг/моль.

Рис.3

Средняя арифметическая скорость V_а может быть выражена следующим образом:

_; м³ *с^-1

V_a= 453 м*с^-1 (для воздуха при t=20⁰С)

Средняя квадратичная скорость V_r соответствующая квадратному корню из суммы квадратов скоростей может быть выражена:

_; м³ *с^-1

V_r 500м*с^-1 (для воздуха при t = 20^ОС)

Рассмотрим для сравнения выражение для определения скорости звука U : ,

где:

Если мы принимаем =1,4 для таких газов как H₂, N₂, O₂ ,то мы увидим , что скорость звука в газах очень близка к значениям их скорости.

Значения скорости теплового движения молекул часто используются в расчетах.

Пример:

Необходимо рассчитать скорость вращения ротора простейшего молекулярного насоса, известного как насос Геде. Диаметр ротора насоса D_r = 0.4 м (рис. 4). На рис. 4 цифрами обозначены:

1. всасывающий патрубок

2. выхлопной патрубок

3. ротор

4. статор (корпус)

Индексами обозначены:

D_r – диаметр ротора;

n_r – частота вращения ротора;

V_r- линейная скорость движений ротора.

Рис.4

Принцип работы насоса основан на том, что молекулы, попавшие в пространство между корпусом (4) и ротором (3) сначала начинают двигаться в произвольном направлении. При ударе о вращающийся ротор, рис.5, молекулы отражаются, приобретая дополнительную тангенциальную составляющую V_r в направлении вращения ротора. Тогда суммарная (средняя) скорость отраженных молекул : _.

Рис.5

Для того, чтобы молекулы после удара о ротор заметно отклонились от нормали необходимо, чтобы линейная скорость поверхности ротора была соизмерима со скоростью теплового движения молекул, т.е. ,

Тогда ; м*с^-1

откуда требуемая скорость ротора :

об/мин

Такая скорость обеспечит заметное отклонение молекул и заметный эффект откачки насоса.