3.2 Поняття оцінки параметрів. Методи знаходження оцінок
Сформулюємо задачу
оцінки параметрів в загальному вигляді.
Нехай розподіл ознаки
(генеральної сукупності) задано функцією
ймовірностей
(для дискретної випадкової величини)
чи щільністю ймовірності
(для неперервної випадкової величини),
яка містить невідомий параметр
.
Наприклад, параметр
в розподілі Пуассона чи
та
для нормального закону розподілу тощо.
Для обчислення
параметру
розглядають вибірку, яка складається
із значень варіант
.
Ці значення можна розглядати, як частинні
випадки
незалежних випадкових величин
кожна з яких має той самий закон розподілу,
що й випадкова величини
.
Оцінкою параметра називають довільну функцію результатів спостережень над випадковою величиною (статистику), за допомогою якої складають враження про значення параметра :
.
Оскільки
– випадкові величини, то оцінка
також є випадковою величиною, яка
залежить від закону розподілу випадкової
величини
та числа
.
Зрозуміло, що
оцінок параметра можна підібрати безліч.
Але яка оцінка є оптимальною? Якщо
значення
близьке до реального значення
,
то розсіювання випадкової величини
відносно
буде найменшим (розсіювання випадкової
величини можна виражати, наприклад,
математичним сподіванням квадрата
відхилення оцінки від параметра, що
оцінюється). Оцінка параметра
називається несуміщеною,
якщо
.
В протилежному випадку оцінка називається
суміщеною.
Несуміщена оцінка
параметра
називається ефективною,
якщо вона має найменшу дисперсію серед
усіх можливих несуміщених оцінок
параметра
,
обчислених за вибірками одного і того
ж об’єму.
Розглянемо методи оцінки генеральної сукупності по виборці.
1. Оцінка
генеральної частки.
Нехай генеральна сукупність містить
елементів, з який
має певну ознаку
.
Потрібно знайти «найкращу» оцінку
генеральної частки
.
Розглянемо в якості такої можливої
оцінки цього параметра його статистичний
аналог – вагу
.
Для повторної
вибірки вибіркову
частку можна подати як середню арифметичну
альтернативних випадкових величин
,
тобто
,
де кожна випадкова величина
є числом появ ознаки в
-му
елементі вибірки та має один і той самий
закон розподілу:
Таблиця 3.6
|
0 |
1 |
|
|
|
Слід відмітити, що вибіркова частка є несуміщена оцінка генеральної частки з дисперсією
, (3.18)
де
.
Для безповторної
вибірки випадкові
величини
є залежними. Тоді розглянемо, наприклад,
події
та
.
Тепер ймовірність
,
оскільки відібраний елемент у вихідну
сукупність не повертається, то в ній
залишається
елемент, серед яких
елемент має ознаку
.
Ця ймовірність
не дорівнює
,
тобто події
та
– залежні. Аналогічно можна показати
залежність інших подій. Слід відмітити,
що вибіркова частка без повторної
вибірки є несуміщеною оцінкою генеральної
частки з дисперсією
, (3.19)
де .
Приклад 3.6 Знайти несуміщену оцінку частки кравчинь швейного цеху з виробітком не менш як 124% по виборці з табл. 3.2.