Завдання для самостійної роботи

Завдання 2.1

1. Випадкові похибки вимірювання мають нормальний закон розподілу ймовірностей із середнім квадратичним відхиленням σ=20 мм і з математичним сподіванням а=0. Знайти ймовірність того, що із трьох незалежних вимірювань похибка хоч би одного не перевищуватиме за абсолютною величиною 4 мм.

2. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл із =2 і = . Знайти щільність імовірності випадкової величини Х, функцією розподілу F(x) і P(1<x<1,5).

3. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=10. Імовірність попадання Х в інтервал (10; 20) дорівнює 0,2. Знайти ймовірність попадання Х в інтервал (20; 30).

4. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням =2 і дисперсією =3. Знайти щільність імовірності випадкової величини Х, інтегральну функцію розподілу F(x) і ймовірність P(1<x<3).

5. Зважується деяка речовина без систематичних похибок. Випадкові похибки зважування мають нормальний закон із середнім квадратичним відхиленням σ=20 г. Знайти ймовірність того, що зважування буде здійснене з похибкою, яка не перевищує за абсолютною величиною 10 г.

6. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з =5 і =3. Знайти щільність ймовірності випадкової величини Х, інтегральну функцією розподілу F(x) та ймовірність P(3<x<5).

7. Автомат штампує деталі. Контролюється довжина деталі Х, яка розподілено нормально з математичним сподіванням 50 мм. Фактична довжина виготовлених деталей не менша 32 мм і не більша 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі більша 55 мм.

8. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази заокруглюються до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде допущена похибка, яка перевищує 0,02 А. Знайти: f(x), F(x) і побудувати їх графіки , .

9. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормальної розподіленої випадкової величини Х відповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення що належить інтервалу (15;25).

10. Ціна поділки шкали вимірювального приладу дорівнює 0,1. Покази приладу заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде допущена похибка більша від 0,02.

11. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х, яка має нормальний закон розподілу, при трьох випробуваннях хоч би один раз виявиться в інтервалі (1,2), якщо математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення її відповідно дорівнюють 1,5 і 1,2.

12. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням =4 і дисперсією =3. Знайти щільність ймовірності випадкової величини Х, інтегральну функцію F(x) і P(3<x<5).

13. Автомат штампує кульки. Кулька вважається придатною, якщо відхилення Х діаметра кульки від проектного розміру за абсолютною величиною менша від 0,7 мм. Вважаючи, що випадкова величина Х розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням _.=0,4 мм. Знайти скільки буде придатних кульок серед 100 виготовлених.

14. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням =3 і дисперсією = . Знайти щільність імовірності випадкової величини Х, інтегральну функцію F(x) і P(2<x<3).Побудувати графіки f(x) і F(x).

15. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (12;14).

16. Хвилинна стрілка електричного годинника переміщується стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від справжнього не більше, ніж на 15с.

17. Здійснюється два незалежних вимірювання вимірювальним приладом, що має систематичну похибку +5 і середнє квадратичне відхилення 6 м яка ймовірність того, що вимірювані значення будуть відхилятися від справжнього не більше, ніж на 1,5 м?

18. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням =2 і дисперсією = . Знайти щільність імовірності випадкової величини Х, інтегральну функцію F(x) і ймовірність P(1<x<1,5).

19. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=2,2. Імовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (0; 2,2) дорівнює 0,17. Знайти ймовірність попадання Х в інтервал (5;6).

20. Ціна поділки шкали вимірювального приладу дорівнює 0,2. Покази приладу заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що під час відліку буде допущено похибку, меншу від 0,04.

21. Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням а=2,2 і середнім квадратичним відхиленням 0,5. яка ймовірність того, що при першому випробуванні випадкова величина попаде в інтервал (3;4), а при другому випробуванні – в інтервал (1;2)?

22. Хвилинна стрілка електричного годинника рухається стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від справжнього не більше, ніж на 8 с.

23. Деталі, які випускає цех, за розмірами мають нормальний закон розподілу N(5;0,9). Знайти в яких межах буде розмір діаметра деталі, щоб імовірність невиходу за ці межі дорівнювала б 0,95.

24. Автобуси деякого маршруту йдуть точно за розкладом. Інтервал руху – 6 хв. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, буде чекати черговий автобус менше 4-х хвилин.

25. Деталі, які випускає цех, за розмірами мають нормальний закон розподілу з математичним сподіванням =5 і середнім квадратичним відхиленням σ_.=0,9. Знайти ймовірність того, що розмір діаметра навмання взятої деталі відрізняється від математичного сподівання не більше, ніж на 2 см.

26. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з =2 і = . Знайти щільність ймовірності f(x) випадкової величини Х, функцію розподілу F(x) і ймовірність P(1<x<1,5).

27. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=6. Імовірність попадання Х в інтервал (1,8; 6) дорівнює 0,3. Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (6,5; 9).

28. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що під час відліку буде допущена похибка, яка перевищує 0,02. Знайти: f(x) і F(x) і побудувати їх графіки, математичне сподівання та дисперсію.

29. Математичне співвідношення нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює а=3 і середнє квадратичне відхилення σ_.=2. Знайти щільність розподілу випадкової величини Х і ймовірність Р(0<x<2).

30. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,2 А. Покази заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що під час відліку буде допущена похибка, менша 0,03.

31. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=10. Імовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (10; 20) дорівнює 0,3. Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (0; 10).

32. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням =2 і дисперсією =3. Знайти f(x), F(x) і P(1<x<3). Побудувати графіки функцій f(x) і F(x).

33. Консервні банки, що випускаються заводом, за масою мають нормальний закон розподілу з середньою масою 250 г і середнім квадратичним відхиленням, що дорівнює 5 г. Знайти ймовірність того, що відхилення маси банок від середньої маси банок за абсолютною величиною не перевищуватиме 8 г.

34. Подія, що складається з миттєвого сигналу, повинна відбуватися між першою і п’ятою годинами. Час чекання сигналу є випадковою величиною Х ,що має рівномірний розподіл. Знайти ймовірність того, що сигнал буде зафіксовано на протязі 20 хвилин після другої години.

35. Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням а=50.Знайти дисперсію випадкової величини Х якщо ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (50; 60) дорівнює 0,3413.

36. Випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу ймовірностей. Знайти щільність ймовірності, якщо математичне сподівання випадкової величини Х дорівнює 8, а дисперсія дорівнює .

37. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно дорівнюють 16 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті двох незалежних випробувань випадкова величина Х хоч би один раз прийме значення, з інтервалу (12; 20).

38. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл ймовірностей на інтервалі (4;10). Знайти її математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, функцію розподілу F(x), імовірність P(3<x<6). Побудувати графіки f(x) і F(x).

39. Випадкова величина Х має щільність імовірності f(x)= . Знайти ймовірність того, що при двох незалежних випробуваннях випадкова величина X, хоч би один раз прийме значення поза інтервалом (4; 6).

40. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з =1 і = . Знайти щільність імовірності випадкової величини X, інтегральну функцію F(x) P(0<x<1,5). Побудувати графіки f(x) і F(x).

41. При вимірюванні деталі її довжина Х є випадковою величиною, що має нормальний розподіл з параметрами а=22 см і σ=0,2 см. Знайти інтервал, в який з ймовірністю 0,9544 потрапить випадкова величина Х.

42. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл ймовірностей на інтервалі (3;8). Знайти її математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, інтегральну функцію розподілу і P(3<x<6). Побудувати графіки f(x) і F(x).

43^*. Прилад складається зі 1000 незалежних елементів. Ймовірність відмови будь-якого елементу протягом певного часу дорівнює 0,001. Скласти закон розподілу елементів, що відмовили протягом певного часу.

44^*. Нормально розподілена випадкова величина має таку функцію розподілу: . З якого інтервалу (1, 2) чи (2, 6) вона набуде значення з більшою ймовірністю?

45^*. Квантиль рівня 0,12 нормально розподіленої випадкової величини дорівнює 9, а квантиль рівня 0,57 дорівнює 13. Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення такої випадкової величини.

46^*. 20%-ва точка нормально розподіленої випадкової величини дорівнює 50, а 405-ва точка дорівнює 35. Знайти ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, що належить інтервалу (35, 55).

47^*. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з нульовим математичним сподіванням. Ймовірність потрапляння цієї випадкової величини на відрізок від -1 до +1 дорівнює 0,5. Знайти щільність ймовірності та функцію розподілу даної випадкової величини.