9.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся

Для решения задач развития логического мышления не требу­ется включения в курс дополнительного математического мате­риала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышле­ния учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным факто­ром, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

И. Организация деятельности учащихся по осознанию логи­ческой составляющей изучаемого содержания с помощью специ­ально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: до­казательство методом от противного, подведение под определе­ние, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях система­тизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания вза­имосвязей между компонентами системы.

П. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостнос­ти системы знаний, пониманием места отдельных элементов сис­темы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного ма­териала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

ПРИМЕР 1. При изучении равнобедренного и равносторон­него треугольника наряду с другими заданиями можно предло­жить учащимся следующие вопросы:

— Верно ли сформулировано определение: треугольник, у кото­рого две стороны равны и два угла равные, называется равно­бедренным?

— Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

— Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники яв­ляются равносторонними?

— Какими могут быть неравносторонние треугольники?

— Верно ли сформулировано предложение: биссектриса угла рав­нобедренного треугольника является его медианой и высотой?

ПРИМЕР 2. При закреплении понятия рациональное выраже­ние по отношению к ряду выписанных выражений можно спросить:

— Все ли приведенные выражения являются целыми? Почему?

— Все ли приведенные выражения являются дробными? Почему?

— Верно ли, что некоторые выражения из приведенных не явля­ются целыми, некоторые выражения являются рациональны­ми, все выражения являются рациональными, некоторые дроб­ные выражения являются целыми?

— Что значит, что выражение не является рациональным?

Примеры подобного рода по логическому упорядочению ма­териала могут быть приведены при изучении любого другого раз­дела курса.

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению призна­ков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинаю­щими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, на­против, понимание терминов свойство и признак понятия позво­ляет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используют­ся, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки - ког­да необходимо под понятие подвести.

Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свой­ства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в сло­варе русского языка дается такая формулировка: «Свойство -это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого -чего -либо.» {СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки - как достаточные или необхо­димые и достаточные условия существования понятия. В школь­ном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие. Ближе всего к школьному пониманию тер­минов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство-каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедиче­ский словарь. М., 1964.) «Признак - показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)

По сути дела свойство понятия, объекта - это все то, что мож­но сказать об. объекте, изучая его. Признаки - это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определен­ному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отноше­ние периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равен­ства противоположных сторон четырехугольника является при­метой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком х или свойством некоторого понятия является рассмат­риваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), - теорема вы­ражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехуголь­ник является параллелограммом), -теорема является его призна­ком.

При этом называть теорему признаком или свойством безот­носительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствую­щие углы равны» является свойством понятия подобные треуголь­ники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, на­пример, деление диагоналей пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное оп­ределение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обрат­ные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истин­ность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

Обучение распознаванию терминов «признак» и «свойство» уместно проводить постепенно.

Первоначальная беседа о свойствах и признаках может быть проведена в начале курса геометрии при изучении признаков ра­венства треугольников, когда учащиеся научатся выделять в фор­мулировке теоремы условие и заключение, когда накопится за­пас признаков и свойств равных треугольников, при этом следу­ет учитывать рекомендации психологов о том, что если обыден­ный и научный смысл одного и того же понятия совпадают, то при формулировке понятия следует опираться на жизненный опыт уча­щихся. Так что при рассмотрении свойств и признаков равных треугольников параллельно следует рассматривать свойства и признаки нематематических понятий, например, можно выделить свойства и признаки таких понятии как «космонавт», «подвод­ная лодка», «ангина».

Свойства и признаки равных треугольников можно сформули­ровать в условной форме и кратко записать формулировку:

Рассматривая приведенные примеры можно с учащимися от­метить, что и в жизни и в математике свойства описывают имею­щееся, данное понятие, но наличие не каждого свойства позволя­ет узнать понятие среди других. Например, равенство соответ­ствующих пар углов в двух треугольниках не является гарантией их равенства.

При сопоставлении свойств равных треугольников, подчер­кивается наличие этого понятия - равных треугольников - в ус­ловиях всех теорем - свойств. Общим в формулировках всех при­знаков понятия является наличие этого понятия в заключении те­оремы. Следовательно, чтобы определить, свойством или призна­ком рассматриваемого понятия является теорема, необходимо выполнить следующие операции:

1) сформулировать теорему в форме «если - то»;

2) определить, в условие или заключение теоремы входит рас-

сматриваемое понятие;

3) сделать вывод: если рассматриваемое понятие содержится в

условии теоремы, то теорема выражает свойство этого поня­тия, если же рассматриваемое понятие содержится в заключе­нии теоремы, то теорема выражает признак понятия. После того как учащиеся научатся определять, свойством или признаком некоторого понятия является некоторая теорема, мож­но переходить к обучению учащихся устанавливать зависимость между признаками и свойствами понятия. Это Становится возмож­ным после знакомства учащихся с понятием о взаимно обратных теоремах. Эту работу можно организовать, используя, например, понятие равнобедренный треугольник.

Рассмотрим с учащимися свойства равнобедренного треуголь­ника:

1) углы при основании равнобедренного треугольника равны;

2) медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны;

3) биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольни­ка является его медианой и высотой.

Кроме свойств, обратные предложения к которым являются истинными и являются признаками понятия, необходимо вклю­чить в рассмотрение такие свойства, обратные предложения к которым признаками не являются. Например,

4) в равнобедренном треугольнике сумма углов - 180°. Сравним схематические записи свойств равнобедренного тре­угольника (рис. 73).

. В результате сравнения двух групп предложений учащиеся сделают вывод, что если предложение, обратное свойству, явля­ется истинным, то оно является признаком понятия. Для того что­бы с помощью свойства понятия получить его признак, необходи­мо выполнить следующие операции:

1) составить предложение, обратное свойству понятия, 228

2) проверить истинность этого предложения;

3) сделать вывод, что если предложение истинно, то оно является

признаком понятия.

Следует отметить с учащимися также, что для получения неко­торых признаков понятия иногда оказывается недостаточно одно­го свойства, свойства приходится комбинировать. Например, для формулировки признака равенства треугольников по двум сторо­нам и углу между ними использовано несколько свойств равных треугольников: наличие двух пар соответственно равных сторон и пары равных углов между соответственно равными сторонами.

Система упражнений для формирования рассматриваемого при­ема учебной работы учащихся по распознаванию свойств и при­знаков понятий кроме традиционных упражнений на применение свойств и признаков понятий должна содержать и следующие:

1) определить, свойством или признаком понятия является та или

иная теорема;

2) сформулировать свойство некоторого понятия;

3) сформулировать признак некоторого понятия;

4) сгруппировать свойства какого-либо понятия;

5) выделить признаки какого-либо понятия;

6) составить предложение, обратное свойству понятия и опреде-

лить, является ли оно признаком данного понятия;

7) составить признак понятия.

Аналогично, в явном или неявном виде может быть организова­но изучение других приемов - составляющих общей задачи разви­тия логического мышления учащихся при обучении математике.

Как можно видеть, формирование приемов умственной дея­тельности и учебной работы по логической организации изучае­мого материала, а значит, и развитие логического мышления мо­жет проводиться на традиционно изучаемом материале с опреде­ленным углублением в структуру этого материала.

Постановка конкретных целей развития логического мышле­ния при изучении понятий и теорем, при решении задач рассмат­ривалась также в соответствующих разделах настоящего посо­бия.

Вопросы и задания

1. Привести примеры формулировок определений, в которых существенные свойства связаны: а) конъюнктивно, б) дизъ­юнктивно.

2. Привести примеры различных ошибочных определений одно­го понятия для организации поиска ошибок учащимися.

3. Привести примеры использования отдельных законов и пра­вил вывода при доказательстве теорем школьного курса ма­тематики.

4. Проанализировать отдельные теоремы на предмет вьщеления законов логики и правил вывода, используемых при доказа­тельстве каждой конкретной теоремы.

5. Привести примеры ошибочных умозаключений для организа­ции поиска ошибок учащимися.

6. Привести примеры понятий школьного курса математики, на которых можно обучать учащихся классификации понятий.

7. Привести примеры различных отношений между математи­ческими понятиями.

8. Разработать методику обучения учащихся выделению усло­вия и заключении в утверждении.

9. Разработать методику обучения приему определения понятия через ближайший род и видовое отличие. (В явном или неяв­ном виде).

10. Разработать методику обучения учащихся методу от против­ного при доказательстве теорем и решении задач.

Литература

1. Брадис В.М., Минковский В.Л., Харчева А.К. Ошибки в ма­тематических рассуждениях. М., 1959.

2. Гибш И.А. Развитие логического мышления в процессе пре­подавания математики в средней школе. М., 1958.

3. ИвинА.А. Искусство правильно мыслить. М.: Просвещение, 1990.

4. ЛатонинЛ.А. и др. Математическая логика. Минск, 1991. 5.Никольская И.А., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказы­вать, М.: Просвещение, 1989.

6. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащих­ся в процессе обучения математике. Киев, 1989.

7. Слептнъ З.М. Психолого-педагогические основы обучения математике. Киев, 1983.

8. Столяр А. А. Как математика ум в порядок приводит. Минск,

1982.

9. Столяр А.А. Как мы рассуждаем. Минск, 1968.

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ