3.3. Приемы, способствующие формированию у учащихся потребности в доказательствах
Было время, когда учителя и методисты спорили о том, способны ли учащиеся 12-13 лет воспринимать логические доказательства, понимать их необходимость. Практика отечественной школы дала на этот вопрос положительный ответ. Пониманию необходимости доказательств способствуют проведение самих доказательств, приучение к требованию проведения строгого доказательства, неоднократное возвращение к вопросу о принципах построения дедуктивного курса.
Приобщением учащихся к доказательствам необходимо заниматься до начала изучения систематических математических курсов, в курсе математики 5-6 классов. Отдельные методисты предлагают ввести в 5-6 классах специальные дополнительные упражнения нематематического содержания на доказательство (см. [6]).
ПРИМЕР. В одном из месяцев года первое и последнее число месяца пришлось на одинаковый день недели. Сколько дней было
в году?
Однако само содержание курса математики предоставляет большие возможности для постановки задач на доказательство. Приведем примеры.
1. Доказать, что 10 • 3 = 30.
2. Объяснить, почему 35-20 = 15.
3. Доказать, что
от
числа 120 находится действием умножения
120 на дробь.
4. Доказать, что число, которого равно 120, находится делением 120 на дробь .
5. Указать, в какой зависимости находятся величины скорости и времени при постоянной пути. Обоснуйте ответ.
6. Указать, в какой зависимости находятся величины времени и пути при неизменной скорости.
8. Доказать, что при сложении дробей с различными знаменателями нельзя складывать отдельно числители и отдельно знаменатели и т. д.
При понимании необходимости решения проблемы развития логического мышления, при внимательном рассмотрении материала учитель сам найдет немало возможностей создания небольших упражнений на доказательство. Необходимо добиваться понимания смысла термина «доказать», понимания того, что доказательство может быть не только непосредственным, путем эксперимента, но и опосредованным, путем рассуждений, как в ситуации, которую образно описывает Дьедонне: предположим, в сарае находятся 7 цыплят, 2 из них вышли; вовсе не обязательно заглядывать в сарай, чтобы узнать, сколько цыплят там осталось. Подсчет с помощью математического действия - это и есть опосредованное доказательство факта, что в сарае осталось 5 цыплят.
Докажи, что неизвестное уменьшаемое находится сложением вычитаемого и разности, что данная задача решается нахождением дроби от числа, что данная задача решается с помощью составления пропорции - вопросы, доступные пониманию значительной части учащихся. Первые доказательства должны касаться неочевидных вещей. Роль учителя - пробудить сомнения в доказательстве со ссылкой на очевидность. В книге Г.Д. Балк и М.Б. Балк [1] можно найти уже хорошо известные примеры оптических иллюзий, когда глаза могут человека подвести. Необходимо подчеркнуть требование точности и общности доказательств: если тридцать учеников класса при построении равнобедренного треугольника получили равные углы при основании треугольника, то это еще не говорит о том, что в тридцать первом случае при основании равнобедренного треугольника получатся равные углы, а все равнобедренные треугольники по отдельности рассмотреть невозможно.
Чтобы убедить учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов, достаточно рассмотреть, например, следующие ситуации.
Сокращение специально подобранных дробей зачеркиванием цифры в числителе и знаменателе, когда с помощью неверных действий получаются верные результаты:
и
т. д.
2. Утверждается, что формула п1 + п + 41 является формулой простого числа. На самом деле, при изменении п от 1 до 39 выражение п2 + п + 41 является простым числом, однако при п = 40 - это число составное.
Вопросы и задания
1. Поясните, что такое суждение, умозаключение. Приведите примеры.
2. Укажите, что такое теорема, аксиома.
3. Приведите примеры законов и правил вывода формальной логики. Приведите примеры их использования в школьном курсе математики.
4. Поясните необходимость аксиом при формальном построении
теории.
5. Докажите, что вместо аксиомы существования единственной прямой, проходящей через две различные точки на плоскости, может быть принято предложение о наличии не более одной точки пересечения двух различных прямых.
6. Перечислите системы аксиом планиметрии, стереометрии (в различных учебных пособиях), множества натуральных чисел.
7. Поясните, что означают требования непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. Докажите, что система аксиом стереометрии, принятая в учебном пособии Л.С. Атанасяна, с одной стороны, является неполной, с другой стороны, избыточной.
8. Составьте теорему обратную, противоположную, обратную противоположной к теореме, выражающей свойство равнобедренного треугольника.
9. Придумайте примеры теорем, обратные предложения к которым не верны.
10. Продумайте, как с учащимися формировать понятие о теореме, обратной к данной.
11. Приведите пример доказательства какой-либо теоремы методом от противного, выделив все шаги доказательства. Продумайте методику обучения учащихся этому методу.
12. Сформулируйте какую-нибудь известную теорему в форме необходимого и достаточного условия.
13. Придумайте пропедевтические задания к теоремам из курсов планиметрии, алгебры, стереометрии.
14. Придумайте задания для осуществления мотивации при изучении теорем: признаков равенства треугольников; теоремы о сумме углов треугольника; теоремы Пифагора; теоремы косинусов; площади криволинейной трапеции; признака перпендикулярности прямой и плоскости.
15. Придумайте задания, выполнение которых организует деятельность учащихся на получение формулировок теорем.
16. Продумайте организацию этапа поиска способа доказательства теоремы из курса планиметрии, алгебры, математического анализа, стереометрии.
17. Продумайте организацию этапа записи полученного доказательства выбранной вами теоремы.
18. Продумайте организацию этапа исследования полученного доказательства теоремы.
19. Продумайте организацию этапа закрепления доказательства и формулировки теоремы.
20. Приведите примеры ошибок в формулировках и доказательствах теорем и разработайте способы их исправления.
21. Укажите, как формировать потребность в доказательстве.
22. Подберите упражнения на доказательство, которые могут быть использованы при изучении курса математики 5-6 классов.
Литература
1.Х.Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. М.: Просвещение, 1971.
2. Болтянский В. Г. Как устроена теорема // Математика в школе. 1975. № 5.
3. Гибш И.А., Семушин А.Д., Фетисов А.И. Развитие логического мышления. М.: Учпедгиз, 1958.
4.А.Григорьева Т.П. и др. Основы технологии развивающего обучения. Н. Новгород, 1997.
5. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы обучения математике. М.: Педагогика, 1987.
6. Губа С.Г. О первых доказательствах // Математика в школе.
1971. №5.
I. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрической задачи. М.: Учпедгиз, 1961.
8. ИшнА.А. Искусство правильно мыслить. М.: Просвещение,
1990.
9. Марголите П. С. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке // Математика в школе. 1985. № 2.
10. Методика преподавания математики. Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов и А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985.
I1. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать. М.: Просвещение, 1989.
12. Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. М.: Просвещение, 1980.
13. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. Минск: Вышэйшая школа, 1990.
14. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.
15. Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в
школе. 1996. № 6.
16. Столяр А. А. Как математика ум в порядок приводит. Минск:
Вышэйшая школа. 1982.
17. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышэйшая
школа, 1986.
18. Финкельштейн В.М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы // Математика в школе. 1996. №6.