2.5. Этапы решения задачи

В предыдущих разделах были рассмотрены различные методы решения задач: эвристические методы, способствующие поиску решения нестандартной задачи; методы решения типовых задач и алгоритмические методы.

Если последние приводят решающего к получению верного результата при решении любой задачи, то использование предпи­сания при решении задачи определенного типа может и не приве­сти к положительному результату, если в условии будут некото­рые отклонения от стандарта. А эвристические методы лишь об­легчают поиск основного направления решения, основной идеи, но получение верного решения не гарантируют. При решении одной конкретной задачи могут быть использованы все три мето­да. Например, эвристика может понадобиться, чтобы свести за­дачу к известному типу, а при решении задачи известного типа придется применить ряд правил - алгоритмов. Но в решении лю­бой задачи можно выделить определенные этапы: 1) анализ усло­вия; 2) поиск пути решения - выдвижение гипотез - составление плана решения; 3) реализация полученного плана; 4) исследова­ний полученного решения - «взгляд назад». В эти этапы «краси­во» укладывается уже полученное решение, а сам процесс реше­ния несколько сложнее. На деле эти этапы резко друг от друга не отделены, при достаточном проникновении в условие задачи при его анализе уже появляются догадки - гипотезы: если гипотеза отвергается, то происходит возврат к условию. Исследование полученного решения может происходить в сознании одновремен­но с реализацией плана. Но с точки зрения изучения процесса решения отдельной задачи выделение этих этапов полезно. Рас­смотрение этих этапов решения задачи помогает учителю организовать деятельность учащихся при решении отдельных задач.

Что представляет собой анализ условия задачи? Какую дея­тельность ученика подразумевает? На необходимость обучения учащихся проведению анализа условия задачи указывают наблю­дения за учениками, которые не вникнув в условие начинают про­изводить различные действия, кажущиеся им подходящими для данных числовых значений. В начале изучения систематического курса геометрии нередка ситуация, когда ученик говорит: «Я не умею начинать решать задачу».

Анализ условия представляет собой выяснение структуры за­дачи:, разделение на данные и требование, условие и заключение, понимание каждого слова в тексте задачи. С учащимися необхо­димо специально разбирать впервые встретившиеся термины: например, «составлять половину», «быть одинаково удаленны­ми», «находится на равном расстоянии» и многое другое. Если какой-нибудь термин непонятен, необходим поиск нужной инфор­мации, уточнение условия. Во многих ситуациях необходимо вы­делять величины и зависимости между ними. Чтобы какое-либо условие не прошло мимо сознания, рекомендуется подсчитывать количество данных в условии задачи и количество искомых в требовании (Д.М. Фридман). Если возможно, то величины, зави­симости должны быть представлены на схемах, рисунках, черте­жах. Полезно пересказать текст своими словами и сверить свой рассказ с текстом задачи.

Единого алгоритма, единой схемы, как проводить анализ ус­ловия задачи, не существует. В различных задачах, в различных типах задач приходится отвечать на различные вопросы. Но тем не менее при анализе любой задачи должно быть осознано каждое данное: что это за величина, каково ее место в задаче и как она связана с другими данными в задаче. Если задача типовая, то анализ условия позволяет отнести эту задачу к определенному типу.

Рассмотрим на примерах, как можно провести анализ условия различных конкретных задач.

ПРИМЕР 1. После того, как повысилась плановая урожай­ность поля на 10 %, стали собирать с 1 га 195 т картофеля. Сколь­ко тонн картофеля должны собирать с одного га по плану?

Вопросы учителя на этапе анализа условия задачи могут быть следующими:

— Какие величины присутствуют в задаче?

— Что такое 195 т?

— Что такое 10 %, по сравнению с какой величиной повысился урожай?

— Что нужно найти в задаче?

— К какому типу относится эта задача? Почему?

— Что здесь все число, что здесь дробь от этого числа (процент) и

каково значение дроби?

ПРИМЕР 2. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 рублей, а на 15 тетрадей у него не хватало бы 7 руб­лей. Сколько денег было у школьника?

Вопросы учителя по анализу условия (задача решается без уравнения):

— Сколько ситуаций рассматривается в задаче?

— Что собой представляет каждая ситуация?

— Представьте на чертеже каждую ситуацию (см. рис. 16).

— Укажите, как изображается на чертеже каждое данное усло­вия?

— Какая взаимосвязь между изображенными ситуациями? Где на

чертеже изображены 7 рублей?

— Что в задаче требуется найти?

ПРИМЕР 3. Медианы, проведенные из вершин основания рав­нобедренного треугольника, равны. Доказать. Вопросы учителя по анализу условия:

— Перечислите все данные задачи. Сколько их?

— Какие медианы в треугольнике проведены?

— Что такое медиана?

— Что значит, что треугольник равнобедренный?

Сделайте чертеж. • - Что требуется доказать в задаче?

ПРИМЕР 4. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 часа, а легковая машина - за 0,8 часа. Найдите скорость автобуса, если известно, что она менее скорости легковой авто­машины на 50 км/ч.

Вопросы на этапе анализа условия задачи:

— Какие ситуации рассматриваются? Начинается оформление

таблицы:

— Каковы соотношения между неизвестными величинами?

— Что в задаче требуется найти?

ПРИМЕР 5. Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого лежит в данной точке А, а две другие - на двух пересекающихся прямых (точка А не принадлежит ни одной из прямых).

Вопросы по анализу условия задачи:

— Что дано в задаче?

— Какая точка, какие прямые даны в задаче?

— Совпадает ли точка А с точкой пересечения прямых?

— Проходит ли какая-нибудь из данных прямых через точку А ?

— Какой треугольник требуется построить? Как расположены вершины этого треугольника?

— Постарайтесь сделать набросок ситуации.

Как можно видеть, в разных задачах при анализе условия про­износятся различные слова, но суть остается одна и та же: уточне­ние данных и требования, выяснение ситуаций, величин, соотно­шений между величинами, т. е. структуры задачи, представление зависимостей в наглядной форме, на модели, чертеже.

Анализ условия плавно переходит в следующий этап - поиск идеи решения, построение плана решения.

Как происходит поиск? Основой этого этапа является выдви­жение гипотез и их проверка.

Поиск решения задачи осуществляется через установление связи, зависимости между данными и искомыми. Если напрямую условия и требования связать не удается, следует попытка пере­формулировать либо условие, либо требование, либо то и другое, либо получить следствия из условия. И тогда снова предприни­мается попытка связать следствия из условия со старым или об­новленным требованием.

Эта связь осуществляется в рамках ранее рассмотренных ме­тодов. Если задача решается алгоритмически, то ее решение со-

сюит из узнавания, подведения под алгоритм и выполнения опе­раций алгоритма. Если удается сразу или после преобразований привести задачу к определенному типу, то используется соответ­ствующее предписание. Если задача не является типовой, то для связывания условия и требования можно попытаться использо-нать эвристики. Применению эвристик способствует постановка вопросов типа:

Нельзя ли эту задачу сформулировать более удобным обра­зом?

Не встречалась ли задача, похожая на решаемую? Нет ли внутри данной задачи такой подзадачи, решение кото­рой уже известно?

Нельзя ли решить эту задачу для начала в некотором частном случае?

Нельзя ли эту задачу решить в более общем случае, чем это требуется?

Учитель должен быть готовым оказать учащимся дозирован­ную помощь в поиске пути решения, с тем чтобы оставить место для инициативы и самостоятельности учащихся.

Приведем вопросы, с помощью которых можно управлять де­ятельностью учащихся по поиску решения последней из приве­денных в тексте задачи:

♦ Допустим, искомый треугольник А ВС построен (см. рис. 17). Что можно заметить относительно точек В и С (Be 1_рСе1₂. Они одинаково удалены от точки А).

♦ Какими преобразованиями могут быть получены точки В и С одна из другой? (Осевой симметрией? - Но в условии задачи нет оси симметрии. - Поворотом вокруг точкиЛ на 60^е?)

♦ Почему эти точки могут быть получены поворотом вокруг точки Л на 60°?

♦ А что произойдет с прямой 1₁, если ее жестко скрепить с точкой В, при повороте точки В вокруг точки А на 60°?

♦ Почему вновь полученная прямая пройдет через точку С? На этапе записи полученного решения специально останавли­ваться не будем, напомним лишь самое общее требование. Записи должны быть грамотными и достаточно развернутыми, особенно на первых порах овладения определенным методом. Например, в арифметических задачах необходимо давать пояснения или ставить вопросы к действию, в геометрической задаче - аргу­ментировать каждый шаг, в алгебраической задаче пояснять со­ставленное уравнение, выполнять преобразования в развернутой форме.

И наконец, рассмотрим последний этап решения задачи - ис­следование полученного решения или «взгляд назад», как назвал этот этап известный американский математик и методист Д. Пойа.

«Взгляд назад» проводится учителем для того, чтобы убедить­ся, что решение задачи понято учениками; чтобы подчеркнуть основную идею задачи; чтобы выделить существенное и несуще­ственное в условии задачи для поиска решения; чтобы в дальней­шем использованный метод мог быть перенесен на решение дру­гих задач; чтобы проверить, все ли сделано верно, нет ли друго­го, более рационального способа решения данной задачи; чтобы выяснить вопрос о возможности решения этой задачи при различ­ных соотношениях между условиями задачи.

Для последней задачи «взгляд назад» может быть организо­ван учителем с помощью следующих вопросов:

— Почему оказалось возможным построить треугольник с помо­щью поворота?

— Какой поворот, какого элемента был осуществлен?

— Какие данные задачи позволили решать ее с помощью пово­рота?

— Какие данные были несущественными для выбора метода ре­шения?

— Какими условиями можно заменить эти несущественные дан­ные?

— Приведите примеры задач, которые решаются аналогично рас­сматриваемой задаче.

— Можно ли задачу решить другим способом?

В чем основной смысл приведенных вопросов? Они позволили еще раз рассмотреть основные моменты решения, подчеркнуть основную идею и сформулировать новые задачи, которые можно решать тем же методом. Решали одну задачу, а решили несколь­ко. На это не следует жалеть времени на уроке.