1.2. Понятие. Содержание и объем понятия. Зависимость между объемами понятий

В понятии отражены существенные свойства объектов и абст­рагированы от несущественных. Существенные свойства состав­ляют содержание понятия. Существенными свойствами понятия (разные авторы называют их по-разному: существенными призна­ками, характеристическими свойствами) называются такие, каж­дый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы выде­лить определенный класс объектов, чтобы некоторый объект от­нести к определенному понятию.

Например, существенными свойствами понятия арифметиче­ский квадратный корень из данного числа являются следующие: 1) это - положительное число; 2) квадрат его равен данному чис­лу. Несущественными свойствами понятия арифметический квад­ратный корень является принадлежность этого числа различным числовым множествам: натуральных, дробных, иррациональных чисел.

Существенными свойствами понятия параллелограмм являют­ся: это - четырехугольник, противоположные стороны его рав­ны, противоположные стороны - параллельны, противополож­ные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне, в сумме со­ставляют 180° и т. д. Несущественными свойствами понятия па­раллелограмм являются величины сторон и углов, цвет изобра­жения, положение на плоскости и другие.

Естественный процесс образования понятий в сознании проис­ходит в результате многократного столкновения с объектами, являющимися представителями этого понятия, в результате мыс­лительных операций анализа, синтеза, абстрагирования, сравне­ния, обобщения. Понятие абстрагируется от индивидуальных при­знаков отдельных восприятий и представлений. В этом процессе психологи выделяют следующую последовательность: восприя­тие - представление - понятие. Например, понятие прямая явля­ется результатом анализа, сравнения, абстрагирования и обоб­щения таких реальных объектов, как натянутая нить, луч света, железная или шоссейная дорога без поворотов. Эти объекты, их образы анализируются, сопоставляются по мере обогащения опы­та. Воспринимается один объект, мысленно воспроизводится дру­гой, известный ранее, происходит сравнение, выделяется сход­ное. В чем заключается продвижение сознания в рамках упомяну­той схемы восприятие - представление - понятие? Это есть про­движение от ощущений, которые первоначально не дифференци­руется и которые лишены однозначности, к постепенному осозна­нию существенных свойств, которые могут быть выявлены уже и при отсутствии ощущений, к абстрагированию существенных свойств в понятии, содержащем в себе все многообразие объек­тов, входящих в состав понятия.

Вне школьного обучения выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных в сознании индивида происходит самостоятельно. Однако на этот процесс может быть чатрачено длительное время. Например, абстрактное понятие числа потребовало от человечества для своего формирования тысячелетий. В школе этот процесс специально организован и протекает, естественно, быстрее.

Заметим, что общее и существенное в понятии - не всегда одно И ТО же. Например, наличие у каждого школьника школьных принадлежностей - общее свойство всех учащихся, но не это свой­ство является сущностью понятия школьник и не оно отличает школьника, например, от студента. Мягкая мочка уха - принад­лежность только человека, но не это свойство отражает основ­ную суть вершины божественного создания. Общим и существен­ным для человека являются сознание, речь, труд. Общность - по­нятие диалектическое, общее всегда различно. Речь различна у разных людей и у разных народов.

В формальной логике принято различать понятия двух видов: понятия об объектах и понятия об отношениях между объектами. Примеры отношений: больше, меньше, равенство для чисел; эк­вивалентность для суждений; равенство, конгруэнтность для фи­гур и т. д.

В понятиях кроме содержания можно выделить вторую харак­теристику - их объем, т.е. множество объектов, подпадающих под это понятие. В объем понятия уравнение входят линейные, квадратные, кубические, биквадратные и другие уравнения. Можно по-другому представить объем понятия уравнение: транс­цендентные и алгебраические, последние в свою очередь делятся на рациональные и иррациональные и т. д.

Между содержанием понятия и его объемом существует следу­ющая зависимость: если увеличивается содержание понятия, то объем его уменьшается. Например, если к существенным свой­ствам параллелограмма присоединить требование равенства всех сторон, то объем понятия параллелограмм уменьшится до поня­тия ромб.

Если объем одного понятия входит в объем другого, то первое понятие называется видовым, а второе -родовым по отношению к первому. Родовое и видовое понятия относительны. Понятие призма является видовым по отношению к понятию многогран­ник и родовым по отношению к понятию параллелепипед.

Можно выделить различные отношения между объемами по­нятий, наиболее часто встречающиеся в математике. Изобразим эти отношения в виде кругов Эйлера-Венна на рис. 1-4.

На рис. 1 представлено отношение рода и вида, отношение подчинения, - объем одного понятия полностью входит в объем другого. В таком отношении находятся, например, понятия призмы

и прямой призмы, целого и натурального числа, тождествен­ного преобразования и сокращения дробей и т. д.

В отношении частичного совпадения (рис. 2) находятся поня­тия прямоугольник и ромб (пересечением этих двух множеств яв­ляется множество квадратов), числа вида /г и 2к, равнобедрен­ные и прямоугольные треугольники и т. д.

В отношении соподчинения (рис. 3) два понятия являются ви­довыми по отношению к одному и тому же родовому и между ними нет отношения частичного совпадения, например, паралле­лограмм и трапеция по отношению к четырехугольникам; призма и пирамида по отношению к многогранникам; сфера, конус, ци­линдр по отношению к телам вращения.

На рис. 4 представлено отношение тождественного совпаде­ния, когда объемы двух понятий полностью совпадают, напри­мер, ромбы с прямыми углами и прямоугольники с равными сто­ронами, треугольники с соответственно равными элементами и треугольники, совмещающиеся при движении.