9.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе*

Основной задачей формальной логики является отделение пра­вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж­дений - посылок нельзя получить ложное суждение - ложное зак­лючение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю­чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор­мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критери­ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде­ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво­да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

Далее приведем формулировки отдельных законов и правил вывода и продемонстрируем примеры их использования при про­ведении рассуждений в школьном курсе математики. Несмотря на сложность соответствующих логических конструкций, они за­нимают значительное место в школьной практике.

Наиболее древнюю историю имеют законы достаточного ос­нования, тождества, исключенного третьего, исключения проти­воречия. По поводу закона достаточного основания можно ска­зать, что ни одно явление не может считаться действительным без

указания его основания. Его схематическая запись:

Обосновать утверждение - привести его достаточное осно­вание.

Обоснованием утверждения, что в ромбе АВСД диагонали пер­пендикулярны, будет истинность суждения, что в любом ромбе диагонали перпендикулярны.

Краткая запись закона тождества -А =А. Согласно этому за­кону не допускается разночтение; в одно и то же понятие, термин вкладывается постоянный смысл, чтобы общающиеся понимали друг друга. Нарушение этого закона - подмена значения терми­на. В то же время значение терминов со временем меняется, т. к. жизнь не стоит на месте. Сравните для примера различные опре­деления науки математики, понятия функции, понятия равенства фигур и многое другое. Но в каждой конкретной ситуации в тер­мин вкладывается вполне определенный смысл.

Закон исключенного третьего имеет вид A∨ истинно («тре­тьего не дано»). Пример: две прямые в пространстве являются либо скрещивающимися, либо таковыми не являются.

Закон исключения противоречия можно схематически записать следующим образом:

A∧ -ложно. Пример: две плоскости па­раллельны и имеют общую точку - ложное высказывание.

Кроме перечисленных имеют место следующие законы и пра­вила, названия которых не так часто употребляются в повседнев­ной жизни.

↿↿A<=> А - закон двойного отрицания. Пример использования закона: «неверно, что а - нечетное число» и «а - четное число» -эквивалентные высказывания.

Отрицание конъюнкции высказываний: ↿ (A ∧ B) ⟺ 1 A∨ ↿В . Пример: параллелограмм квадратом не является (квадрат - па­раллелограмм с прямыми углами и равными сторонами) - это оз­начает, что-либо в параллелограмме углы не прямые или сторо­ны не равны, либо то и другое вместе.

Отрицание дизъюнкции высказываний: ↿ (A ∨ B) ⟺ 1 A∧ ↿В . Пример использования: данное выражение рациональным не яв­ляется (рациональное выражение - целое или дробное выраже­ние), это означает, что выражение не целое и не дробное.

Закон отрицания импликации: ↿ (А ⟹ В) ⇔ А ∧ 1 В . На его основе проходит проверка закономерностей, полученных опыт­ным путем, с помощью приведения контрпримера - нахождения объекта, для которого А - истинно, В - ложно. Пример: неверно, что если число делится на 3, то оно делится и на 6; число 15 делит­ся на 3, но не делится на 6.

Закон отрицания эквивалентности:

Пример использования закона: неверно, что гомотетия и подобие одно и то же преобразование, т. к. не всякие подобные фигуры являются гомотетичными.

Закон отрицания квантора общности: 1 ∀x А(х) ⇔ ∃х ↿А(х).

Пример: данная прямая не перпендикулярна плоскости..- это оз­начает, что на плоскости существует прямая, не язляющаяся пер­пендикулярной к данной прямой и наоборот.

Закон отрицания квантора существования: 1 ∃x А(х) ⇔ ∀х ↿А(х).

Пример: векторы а и в не коллинеарные, т. е. не существует такого числа k, что = k ; это эквивалентно тому, что для любого чис­ла к равенство а = кв не выполняется и наоборот.

Закон контрапозиции: A ⟹ В ⇔ 1 B ⟹ 1A .В качестве приме­ра приведем два эквивалентных умозаключения: в трапеции средняя линия параллельна основаниям и отрезок EF с концами на боковых сторонах трапеции не параллелен основаниям, следова­тельно EFне является средней линией. Закон расширенной контрапозиции:

(A∧ B) ⟹ С ⇔ ((A ∧ 1 С) ⟹1B).

В качестве примера приведем два эквивалентных высказывания. Первое: если прямые принадлежат одной плоскости и не имеют общих точек, то они параллельны. Второе: если прямые, принад­лежащие одной плоскости, не параллельны, то они пересекаются. Правило силлогизма: (А ⟹ В) л (В ⟹ С) ⇔ (А ⟹ С). Пример: если АВСД - ромб, то АВ =АД, если АВ-АД, то ААВС - равно­бедренный; следовательно, если АВСД- ромб, то ААВС- равно­бедренный.

, Список законов логики и правил вывода и их многочисленных приложений в школьной математике можно продолжить. Желаю­щие могут его пополнить из работ [4, 8]. Однако приведенных примеров вполне достаточно, чтобы сделать вывод о том, что все они используются в рассуждениях при доказательстве теорем, независимо от сложности их конструкций, от того, осознает или нет соответствующее правило, закон тот, кто его использует.

Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос­тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря­док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест­ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов - зна­чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не­строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно­жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле­довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь­ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» - отношение строгого порядка, отношение «следовать» - пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи­ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа­ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо­те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме человек ка неупорядоченной, т. е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче­стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто­рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо­вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло­гическим путем, с помощью рассуждений» ([8], с. 8).

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи­мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом.

Учащиеся должны уметь:

♦ формулировать определения понятий с использованием раз­личных связок и кванторов;

♦ приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде­ления различных логических конструкций;

♦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе­ний различных логических конструкций;

♦ понимать отношения между двумя понятиями;

♦ проводить классификацию известных понятий;

♦ понимать свойства конкретных отношений - рефлективность, симметричность, транзитивность - без употребления соответ­ствующей терминологии;

♦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

♦ выделять условия и заключения теоремы;

♦ строить отрицание утверждений различной структуры;

♦ различать свойства и признаки понятий;

♦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

♦ уметь проводить полученное доказательство;

♦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказы-_г вать это в отдельных случаях;

♦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

♦ использовать отдельные методы доказательства - метод от противного, полную индукцию, доказательства методом ис­ключения;

♦ понимать основные принципы построения дедуктивной тео­рии.

Овладение перечисленными действиями по упорядочению изу­чаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.