6.5. Исследовательский метод в обучении математике

Исследовательский метод- высший уровень проблемного под­хода. Проблемное изложение и проблемная беседа являются под­готовкой учащихся к нему. Исследовательский метод в обучении заключается в самостоятельном решении обучаемыми проблем, трудных задач познавательного и практического характера. При исследовательской деятельности учащиеся отыскивают не толь­ко способы решения поставленных проблем, но и побуждаются к самостоятельной их постановке, к выдвижению целей своей дея­тельности.

Исследовательский метод является имитацией творческого поиска исследователя. Учащиеся открывают новое, но это субъективно новое, известное науке, но неизвестное ученику. При этом ученик проходит те же этапы творческого процесса, что и насто­ящий исследователь: анализирует ситуации, выдвигает гипотезы относительно целей и методов исследования, проверяет их, отка­зывается от них, если они приводят в тупик, к противоречию, со­ставляет план исследования, формулирует результат, проверяет пригодность результата для различных крайних, частных случа­ев, пытается перенести полученный результат на новые ситуации - установить следствия полученной закономерности.

В организации исследовательской деятельности учащихся име­ют место определенные трудности. Какие формы работы, какие задания помогут организовать эту деятельность?

На начальном этапе это может быть самостоятельное состав­ление учеником задач, упражнений, аналогичных решенным, об­ратных решенным. На более поздних этапах может быть самосто­ятельное составление задач на заданную тему, на определенный метод решения; решение задач с неполным условием, когда появ­ляется возможность получения последовательности задач; это получение задач из практических ситуаций с последующим их решением; самостоятельный поиск закономерностей и их доказа­тельств; это распространение полученной закономерности на ча­стные и предельные случаи; это исследование, в каких случаях решение возможно, а в каких - нет; это определение количества возможных решений. Отличительной чертой исследовательского метода является не просто поиск пути достижения определенной цели в определенных условиях, но поиск самой цели, поиск усло­вий, их взаимосвязей, уточнение того и другого. Исследователь­ская деятельность имеет место при самостоятельном решении любой нестандартной задачи, условие которой не ориентируется на способ решения, а в имеющемся опыте нет готовых схем реше­ния для нее.

В качестве примера рассмотрим один вид заданий, который наименее распространен в школе, и который позволяет учителю сравнительно легко организовать исследовательскую деятель­ность - задание на развитие темы задачи.

Цель задания - изучение пропорциональности отрезков хорд и секущих. Цель учащимся не сообщается. При этом предполагает­ся, что учащиеся изучили теорему о вписанном угле.

Предварительно учащимся предлагается следующая задача. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Зем­лей, если средний радиус Земли 6370 км?

Задача сопровождается заданием получить все возможные следствия полученного решения.

Выполнение задания может разворачивать­ся, например, следующим образом. Вначале по­лучаем математическую модель предъявленной практической ситуации (см. рис. 56). Дано: Окр. (O;R), AC = h,OC=r.

Найти: АВ.

Результатом решения задачи является равен­ство l= или I² =h*(2r + h). Далее могут возникнуть следующие вопросы: можно ли эту закономерность перенести на любые се­кущие, проведенные через точку А, т.е. будет ли произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной или, другими словами, постоянно. Появляются новые задачи.

ЗАДАЧА 1. Дано: АЕ, АД- секущие. Доказать: АВ*АЕ=АД*АС(рис. 57).

1. Доказать подобие треугольников СВД и СЕ А, где А Е и БД -высоты данного треугольника, и получить возможные следствия этой задачи (см. рис. 62).

2. Получить возможные следствия из теоремы, что движение сохраняет отношение «лежать между» для трех точек.

Развитие темы первого задания можно получить за счет углуб­ления изучения ситуации, когда из подобия треугольников СДВ и СЕД можно доказать подобие треугольников А ВС и ЕДС; постро­ение третьей высоты приводит к доказательству подобия четырех треугольников, а также того факта, что высоты исходного тре_у-гольника являются биссектрисами треугольника, образованного основаниями трех высот.

Развитие темы второго задания происходит за счет расшире­ния зоны применения полученной закономерности к новым ситуа­циям: к движению луча, угла, отрезка, треугольника, четырех_у-гольников различных видов.

Приведенные примеры демонстрируют возможность создания исследовательских заданий на материале обычных школьных задач путем их переконструирования. Заметим при этом, что пред­лагаемые задания не имеют определенного законченного ответа, возможно неограниченное углубление в изучение вопроса.

В заключение отметим, что систематическое включение уча­щихся в исследовательскую деятельность является важным фак­тором воспитания и развития учащихся в процессе обучения.

Вопросы и задания

1. Определите порядок расположения вопросов по уровню их

проблемности: а) можно ли выражение )² представить в

виде дроби, как это сделать; б) представить выражение —

в виде дроби; в) пользуясь определением степени, представить

в виде дроби выражения: ; ;

2. Заменить требование задачи новыми требованиями различно­го уровня проблемности: а) доказать, что диагонали ромба являются его осями симметрии; б) установить, как расположе­ны биссектрисы двух смежных углов.

3. Сформулировать требования разного уровня проблемное™ для самостоятельного выделения учащимися каждой из фор­мулировок: теоремы Виета, теоремы Пифагора, теоремы о сумме углов треугольника и других теорем:

4. Составить задачи с противоречащими друг другу условиями и требованиями к теоремам, перечисленным в задании 3.

5. Указать возможные применения для создания проблемных си­туаций следующих задач и практических работ: а) утроенное произведение двух последовательных чисел равно 156. Най­ти эти числа; б) параллельные прямые проводятся с помощью угольника (рис. 63);

д) найти расстояние от пунктов А и В, находящихся на материке, до острова, если непосредственное измерение невозможно.

6. Привести примеры практических заданий и указать возмож­ности их применения для мотивации введения нового матери­ала.

7. Изменить условие задачи, сделав его переопределенным, не­определенным: двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 30°. Найти апофему пирамиды, если сторона основания треугольника равна 6 см.

8. Придумать задания, требующие: а) сформулировать вопрос к задаче; б) подобрать данные к условию задачи; в) допол­нить условие необходимыми числовыми данными; г) соста­вить задачу по требованию; д) составить задачу по уравне­нию; е) составить задачу по способу решения; ж) составить задачу на заданную тему; з) составить задачу по схеме, черте­жу, пространственной модели; и) составить задачу, аналогич­ную решенной.

9. Привести примеры тем возможных сочинений по математике и обосновать свой выбор.

10. Выделить все возможные ошибки учащихся, проанализиро­вав соответствующие операции:

— при делении на десятичную дробь;

— при сложении и вычитании обыкновенных дробей с разны­ми знаменателями;

— при определении понятий;

— при выделении формулировок теорем;

— при проведении доказательств теорем.

Придумать задания на поиск учащимися собственных ошибок.

11. Разработать проблемное изложение или проблемную беседу при изучении одной из теорем школьного курса математики.

12. Привести примеры практических заданий, решение которых может носить исследовательский характер.

13. Привести примеры задач, которые могут быть решены раз­личными математическими методами.

14. Привести примеры арифметической, планиметрической, сте­реометрической, алгебраической задач. Заменить требования в приведенных задачах, усложнив их.

15. Подобрать задачу и выполнить задание по развитию темы задачи.

Литература

1. Брушлинский А. В. Психология мышления и проблемное обу­чение. М.: Знание. 1983.

2. Вергасов В. М. Активизация мыслительной деятельности сту­дентов в высшей школе. Киев: Вища школа. 1979.

3. Виноградова Л.В., Домашенко М.В. Как подготовить и про­вести проблемную беседу // Математика. 1997. № 24.

4. Виноградова Л. В. Развитие мышления учащихся при обуче­нии математике. Петрозаводск. 1989.

5. Зайкин A.M., Колосов В.А. Провоцирующие задачи // Мате­матика в школе. 1997. № 1.

6. Крайзман М.Л. Решение задач различными способами // Ма­тематика в школе. 1990. № 1.

7. Кудрявцев ТВ. Итоги дискуссии и пути дальнейшей работы // Вестник высшей школы. 1964. № 4.

8. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обу­чении. М.: Педагогика, 1972.

9. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в шко­ле. М.: Просвещение, 1977.

10. Методика преподавания математики в средней школе. Соста­вители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985.

11. Оганесян В.А. и др. Методики преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1980.

12. Окунев А.А. Как учить не уча. М., 1997.

13. Шевкин А.В. Несколько способов решения одной задачи // Математика в школе. 1998. № 2.

ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

В ШКОЛЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

ТЕОРИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Как известно, методика преподавания математики опирается в своем построении на различные науки: математику, логику, психологию, педагогику, философию. Эта взаимосвязь ярко про­является через ряд систематизирующих факторов, понятий, важ­нейшим из которых являются человеческая деятельность, поня­тие деятельности. Многие методические работы имеют ссылку на теорию деятельности как на методологию своего исследования, некоторые разрабатывают отдельные аспекты применения тео­рии деятельности в методике преподавания математики. Но есть необходимость целостного рассмотрения этой теории, которая позволяет по-новому взглянуть на многие традиционные вопросы обучения, развития и воспитания личности, осознанно восприни­мать современные требования к процессу обучения, осуществлять творческий поиск.