Контрольні питання

Основні етапи пошуку кореня.
Якими методами може виконуватись відділення коренів?
Які є методи уточнення коренів?
Від чого залежить обчислювальний алгоритм методу Ньютона?
Недоліки методу Ньютона (дотичних).
Якою функцією замінюється ліва частина рівняння в методі ітерацій?
Що називається збіжністю методу ітерацій?
Які є модифікації методу Ньютона?
Які корені рівняння можна визначити за допомогою методу кільця?

Практична робота № 4

Тема: Інтерполяція функцій. Методи Лагранжа, Ньютона. Кубічні сплайни

Теоретичні відомості

Інтерполяцією називається такий вид точкової апроксимації, коли апроксимуюча функція представляє собою алгебраїчний багаточлен (поліном) степеня , який в -й точках (вузлах) , заданих на відрізку , збігається із значенням апроксимованої функції в цих вузлах. Тобто .

Загальна постановка задачі інтерполяції. Задані значення функції аргумента y при його значеннях відповідно. Побудувати неперервну функцію , що належить до заданого класу функцій, таку, що вона збігається з при значеннях аргумента .

У такому формулюванні розв'язок задачі є невизначеним, бо крізь задані точки можна провести безліч кривих. Тому загальну постановку дещо звужують, задаючи не тільки клас інтерполюючої функції, але й додаткову умову мінімальної її складності.

Наприклад, для найбільш поширеної поліноміальної інтерполяції (при якій інтерполююча функція обирається серед поліномів аргументу ), додатковою умовою є мінімальний порядок інтерполюючого полінома. З цього слідує, що якщо первісну функцію задано лише двома точками, її треба інтерполювати поліномом першого порядку (крізь дві задані точки проходить єдина пряма), якщо трьома - параболою другого порядку, і так далі. Взагалі функція, задана своїми значеннями (у точках) інтерполюється однозначно поліномом -го порядку:

Тепер задача інтерполювання звелася до відшукання значень невідомих коефіцієнтів полінома (1) з умови прийняття ним значень при значеннях аргумента .

Існують кілька способів визначення цих коефіцієнтів. Вони відрізняються методикою обчислень, але при ідеальних обчисленнях вони, природньо, призводять до тих самих результатів, тобто до того самого полінома.

Багаточлен Лагранжа

Вираз інтерполяційного багаточлена:

. (4.1)

Багаточлен виду (4.1) називають інтерполяційним багаточленом Лагранжа, а наближену рівність:

– інтерполяційною формулою Лагранжа.

Перавагою методу Лагранжа є те, що вузли інтерполяції можуть бути довільно розташовані один від одного на відрізку .

Недоліком методу Лагранжа є те, що для кожного нового значення аргументу або при підвищенні порядку багаточлена (а це веде до залучення нових вузлів) всі обчислення виконують заново. А це значно збільшує обсяг обчислювальної роботи.

Приклад 4.1

Написати інтерполяційний багаточлен Лагранжа в точці для функції , значення якої знаходяться у таблиці 4.1.