Контрольні питання

1. Методи розв’язання системи лінійних рівнянь.

2. Від чого залежить швидкість збіжності методу ітерацій?

3. В чому полягає відмінність між методом Гауса-Зейделя та простої ітерації?

4. Які методи називають точними?

5. Які методи називають ітераційними?

6. Як перевірити обумовленість системи рівнянь?

7. Яким чином у методі Гауса можна контролювати накопичення похибок обчислень?

8. Достатня умова збіжності ітераційних методів.

9. У чому основна відмінність між точними та наближеними методами вирішення систем лінійних рівнянь?

Практична робота № 3

Тема: Відділення коренів. Метод хорд. Метод Ньютона. Метод простої ітерації. Знаходження області існування коренів алгебраїчних рівнянь. Методи Ньютона та кільця. Уточнення коренів алгебраїчних рівнянь

Теоретичні відомості

Процес вирішення нелінійного рівняння загального виду здійснюється в два етапи.

На першому етапі відокремлюють корені, тобто знаходять такі відрізки, усередині яких знаходиться строго один корінь.

На другому етапі уточнюють корінь, тобто знаходять його значення з попередньо заданою точністю .

Відділення коренів може здійснюватися графічно (шляхом побудови графіка функції) чи аналітично.

Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння записують у вигляді і будують графіки функцій і , потім знаходять границі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Приклад 3.1

Відокремити корені рівняння .

Будуємо графіки функцій (рис. 3.1):

, (3.1)

. (3.2)

З графіка видно, що дане рівняння має три корені, причому , , . Оскільки для будь-яких , а для і для , то інших коренів дане рівняння не має.

Рис. 3.1. Графіки функції (3.1) і (3.2)

Для аналітичного відділення коренів знаходять усі критичні точки функції, тобто точки, у яких похідні дорівнюють нулю чи не існують. Це можна зробити чисельними методами, або (у нескладних випадках) аналітично.

Для цього диференціюють, прирівнюють похідну до нуля і вирішують отримане рівняння відносно . Крім того, визначають усі точки, де за тими чи іншими причинами (наприклад, знаменник дорівнює нулю, під логарифмом з'являється нуль і т. д.) похідна може не існувати. У цих (критичних) точках чи у безпосередній близькості від них визначають знак функції , тобто знаходять . Далі будують ряд знаків функції в критичних точках, включаючи в розгляд і крайні точки числової осі і . Аналізують цей ряд, і по числу змін знаків визначають кількість коренів (дорівнює числу змін знаків ) і інтервали, де локалізовані ці корені: на лівій і на правій границях такого інтервалу функція повинна мати різні знаки. У разі потреби можна додатково до критичних точок використовувати і довільні точки, що дозволяє звузити інтервал локалізації кореня. Особливо це потрібно робити, коли одна з границь інтервалу знаходиться в нескінченності, тому що інтервал з такою границею не дозволить уточнити корені.

Приклад 3.2

Дано рівняння: . Відділити його корені.

Позначимо . Знаходимо похідну . Обчислимо корінь похідної:

; ; ;

.

Складемо таблицю знаків функції , вважаючи, що дорівнює:

а) критичним значенням функції (кореням похідної) чи близьким до них;

б) граничним значенням (виходячи з області припустимих значень невідомого) (табл. 3.1):

Таблиця 3.1

		1
	+	-	+

Відбуваються дві зміни знака функції, отже рівняння має два дійсних корені. Щоб завершити операцію відділення коренів, можна спробувати зменшити проміжки, що містять корені, так, щоб їхня довжина була б менша. Для цього візьмемо кілька значень х і внесемо їх додатково в таблицю. Одержимо наступну таблицю 3.2:

Таблиця 3.2

		-1	0	1	2
	+	+	-	-	+	+

Отже видно, що корені містяться в наступних проміжках: