Практична робота № 1

Тема: Похибки. Похибки величин. Похибки функцій. Оцінка похибки

Теоретичні відомості Похибки величин

Визначення 1.1. Якщо - точне значення деякої величини, - відоме наближення до нього, то абсолютною похибкою наближення числа називають деяку величину , таку, що:

.

Визначення 1.2. Відносною похибкою (зазвичай визначається в %) називають величину , таку, що:

.

Визначення 1.3. Значущими цифрами числа називають усі цифри в його записі, починаючи з першої зліва. Значущу цифру називають вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує половини одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Приклад 1.1. Визначити кількість вірних значущих цифр числа , якщо відомо, що .

.

- половина ;

- цифра невірна;

- половина ;

- цифра вірна.

Тобто, при вірні цифри , і .

У загальному випадку має виконуватись нерівність:

,

де - порядок старшої цифри; - кількість вірних значущих цифр.

Відносна похибка пов’язана з кількістю вірних цифр наближеного числа наступним співвідношенням:

,

де - старша значуща цифра.

Те, що є наближеним значенням з абсолютною похибкою записують у вигляді:

.

і записуються з однаковою кількістю знаків після коми.

Те, що є наближеним значенням з відносною похибкою записують у вигляді:

,

Похибка функції

Нехай шукана величина є функцією параметрів , тобто і відома область у просторі змінних , якій належать параметри. Необхідно одержати наближення до і оцінити його похибку.

Визначення 1.4. Граничною абсолютною похибкою називають найкращу (при наявній інформації) оцінку похибки величини :

,

- верхня границя значень у просторі .

Визначення 1.5. Граничною відносною похибкою називають величину:

.

Нехай ;

;

.

У загальному випадку:

;

,

де .

Наприклад, розглянемо похибку суми / різниці .

Якщо , то

;

.

Похибка добутку:

.

або .

Похибка частки:

.

;

.

Похибка піднесення до степеня:

.

Приклад 1.2

Знайти суму чисел:

і визначити абсолютну похибку результату.

Знаходимо суму чисел:

;

.

Оскільки , то у результаті зберігаємо тільки вірні значущі цифри:

.

Абсолютна похибка:

;

.

Якщо кількість доданків велика, то оцінка похибки відбувається за формулою Чеботарьова:

,

де - похибка доданків.

Завдання

1. Знайти суму чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.

2. Знайти здобуток чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.

3. Знайти частку чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.

4. Знайти суму чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.

5. Знайти здобуток чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.

6. Знайти частку чисел. Визначити абсолютну та відносну похибку результату.