Побудова квадратичної емпіричної формули
Нехай
між даними
існує
квадратична залежність. Шукаємо емпіричну
формулу у вигляді
.
Маємо систему виду 5.4:
(5.4)
Розв’язок системи (5.4) визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол подає на проміжку, що розглядається, задану таблично функційну залежність.
Аналітичний критерій для квадратичної залежності використовує розділені різниці першого та другого порядку:
та
.
Точки розміщені на параболі виду тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядку зберігають сталі значення.
Якщо
точки рівновіддалені, тобто
,
то для існування квадратичної залежності
необхідно і достатньо, щоб була сталою
скінченна різниця другого порядку
,
,
причому
.
Приклад 5.2. Побудова квадратичної емпіричної формули
Побудувати квадратичну функцію для залежності, поданої в таблиці 5.3.
Таблиця 5.3
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
-4,281 |
0,019 |
0 |
0 |
2 |
0,2 |
-4,117 |
0,183 |
0,04 |
0,008 |
3 |
0,4 |
-3,755 |
0,545 |
0,16 |
0,064 |
4 |
0,6 |
-3,195 |
1,105 |
0,36 |
0,216 |
5 |
0,8 |
-2,437 |
1,863 |
0,64 |
0,512 |
6 |
1,0 |
-1,481 |
2,819 |
1,0 |
1,0 |
7 |
1,2 |
-0,325 |
3,975 |
1,44 |
1,728 |
8 |
1,4 |
1,028 |
5,328 |
1,96 |
2,744 |
9 |
1,6 |
2,581 |
6,881 |
2,56 |
4,096 |
10 |
1,8 |
4,331 |
8,631 |
3,24 |
5,832 |
11 |
2,0 |
6,278 |
10,578 |
4,0 |
8,0 |
|
11 |
-5,373 |
41,927 |
15,4 |
24,2 |
Продовження таблиці 5.3
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
0.0016 |
0,0366 |
0,007 |
3 |
|
0.0256 |
0.218 |
0,087 |
4 |
|
0,1296 |
0,663 |
0,398 |
5 |
|
0,4096 |
1,4904 |
1,192 |
6 |
|
1,0 |
2,819 |
2,819 |
7 |
|
2,073 |
4,77 |
5,724 |
8 |
|
3,842 |
7,459 |
10,443 |
9 |
|
6,553 |
11,009 |
17,615 |
10 |
|
10,498 |
15,536 |
27,964 |
11 |
|
16,0 |
21,156 |
42,312 |
|
|
40,533 |
65,158 |
108,562 |
Серед
значень
є від’ємні. Тому до всіх
додамо, наприклад, число 4,3. Це означає,
що початок координат перенесено в точку
.
Нові значення координат
заносимо в таблицю 5.3. Щоб побудувати
систему виду (5.4), обчислимо суми при
невідомих
.
Проміжні обчислення запишемо в таблицю
5.4.
Оскільки
точки
рівновіддалені, причому
,
то складемо таблицю 5.4 скінченних різниць
другого порядку.
Таблиця 5.4
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
0 |
-4,281
|
0,164 |
|
2 |
0,2 |
-4,117
|
0,362 |
0,198 |
3 |
0,4 |
-3,755
|
0,560 |
0,198 |
4 |
0,6 |
-3,195
|
0,758 |
0,198 |
5 |
0,8 |
-2,437
|
0,956 |
0,198 |
Продовження таблиці 5.4
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1,0 |
-1,481
|
1,156 |
0,2 |
7 |
1,2 |
-0,325 |
1,353 |
0,197 |
8 |
1,4 |
1,028 |
1,553 |
0,2 |
9 |
1,6 |
2,581 |
1,750 |
0,197 |
10 |
1,8 |
4,331 |
1,947 |
1,147 |
11 |
2,0 |
6,278 |
|
|
З таблиці 5.4 видно, що скінченні різниці другого порядку майже сталі, тому залежність між та можна вважати квадратичною.
Згідно системи виду (5.4) шукана нормальна система має вигляд:
Сумарне
значення окремих коефіцієнтів
,
,
,
та сумарне значення добутків
попередньо обчислені і занесені в
таблицю 5.3 у відповідний останній рядок.
Розв’язок
цієї системи методом Гауса дає:
.
Тоді шуканий тричлен
.