Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта має четвертий порядок точності. Обчислювальний алгоритм:
,
де:
Переваги однокрокових методів такі:
для обчислення розв’язку задачі в точці
потрібно знати її розв’язок
лише в точці
;є змога здійснювати обчислення із змінним кроком;
особливо зручні для програмування на ЕОМ, оскільки обчислення за цими методами має циклічний характер.
Недоліки однокрокових методів наступні:
важко оцінити похибки наближеного розв’язку задачі (7.1), бо відомі гарантовані оцінки локальної похибки здебільшого значно завищені, а тому практична їх цінність незначна;
потрібно обчислювати в кількох точках праву частину рівняння (7.1) (функцію
на кожному кроці обчислення).
Приклад 7.3
Вирішити дифенційне рівняння виду при початкових умовах з кроком на інтервалі .
На
першому
кроці
за наведеними для
формулами одержимо:
На другому кроці одержимо:
і відповідно:
Подальші результати (через точку) представлені у табл. 7.3.
Таблиця 7.3
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
Рішення |
1 |
1,4977 |
2,2783 |
3,5201 |
5,4894 |
8,5834 |
Метод Мілна
Метод Мілна відноситься до багатокрокових методів і є методом, що передбачає кроки прогнозу і корекції. Рішення у наступній точці знаходиться у два етапи. На етапі прогнозу здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на етапі корекції – корекція отриманого значення. Якщо отримане значення після корекції істотно відрізняється від прогнозованого, тоді проводять ще один етап корекції.
Метод Мілна має наступні обчислювальні формули:
етап прогнозу:
,
де
;
2) етап корекції:
.
Абсолютна похибка методу визначається за формулою:
.
До переваг методу Мілна відноситься те, що він потребує трохи меншої кількості обчислень (наприклад, достатньо тільки два рази обчислити , інші запам’ятовуються з попередніх етапів).
А до недоліків - потребує додаткових витрат пам’яті. Крім того, неможливо «запустити» метод без попереднього одержання однокроковими методами перші три точки.
Приклад 7.4
Вирішити дифенційне рівняння виду при початкових умовах з кроком на інтервалі .
Перші три точки одержуємо методом Рунге-Кутта, тому вони повністю співпадають з результатами попереднього методу. Тому в якості результатів прикладу наведемо у табл. 7.4 тільки підсумкові значення як для прогнозу, так і для корекції.
Таблиця 7.4
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
Рішення |
1 |
1,4977 |
2,2783 |
3,5202 |
5,4805 |
8,5836 |
Прогноз |
1 |
1,4977 |
2,2783 |
3,5201 |
5,4895 |
8,5835 |
Корекція |
|
- |
2,2781 |
3,5298 |
5,4890 |
8,5828 |