Метод Ньютона

Цей метод не надає конструктивного шляху для знаходження шуканого значення, тобто не надає більш ефективних алгоритмів, крім простого перебору чи перевірки навмання узятих точок, і формулюються у такий спосіб: якщо при якомусь значенні і всі похідні , то значення є граничним значенням додатних коренів.

Приклад 3.7

Розглянемо застосування методу для того ж рівняння, що у попередньому прикладі:

З третьої похідної видно, що потрібно шукати граничне значення при . З другої похідної одержимо: , тобто , чи . Далі з нерівності можна спробувати знайти значення , що задовольняють йому і не суперечать раніше знайденим і т. д. Однак нерівності з поліномами високого порядку вирішуються досить складно і не завжди. Тому частіше використовують простий набір такого значення , при якому справедливі всі нерівності.

Метод кільця

Метод дозволяє знаходити область існування всіх коренів алгебраїчного рівняння, у тому числі і комплексних. Дійсні корені знаходяться на проміжку і (відповідно від’ємні та додатні). Величини і обчислюються за формулами:

; , (3.2)

де ;

.

У випадку знаходження області існування всіх коренів, а не тільки дійсних, будується кільце з радіусами і , усередині якого знаходяться і дійсні корені.

Метод дозволяє визначити діапазон існування коренів приблизно, з визначеним запасом.

Приклад 3.8

Визначити граничні значення коренів рівняння:

.

Тут ; ; ; .

Використовуючи формули (3.2), одержимо:

; .

Звідси слідує, що додатні корені знаходяться на інтервалі , а від’ємні – на інтервалі . Слід зазначити, що указування границь коренів не означає, що такі корені обов’язково є. У даному випадку ми вказали області для додатних і від’ємних коренів, а якщо у рівнянні виявляться комплексні корені, то дійсний буде тільки один, внаслідок того, що це рівняння - третього степеня.

Завдання

1. Відділити корені заданого рівняння одним з методів: графічним, аналітичним або методом простого перебору.

2. Уточнити один з відділених коренів рівняння за вказаним у таблиці 3.6 методом з точністю =0,001.

Таблиця 3.6

Номер варіанта	Функция	Метод
1	2	3
1		Хорд
2		Дотичних
3		Простої ітерації
4		Кільця

Продовження таблиці 3.6

1	2	3
5		Хорд
6		Дотичних
7		Простої ітерації
8		Кільця
9		Хорд
10		Дотичних
11		Простої ітерації
12		Кільця
13		Хорд
14		Дотичних
15		Простої ітерації
16		Кільця
17		Хорд
18		Дотичних
19		Простої ітерації
20		Кільця
21		Хорд
22		Дотичних
23		Простої ітерації

Продовження таблиці 3.6

1	2	3
24		Кільця
25		Дотичних