Метод золотого перерізу

Золотим перерізом відрізка називається ділення відрізка на дві частини таким чином, що відношення довжини всього відрізка до довжини більшої частини дорівнює відношенню більшої частини до меншої (принцип подібності). Метод заснований на діленні поточного відрізку , де знаходиться шуканий екстремум, на дві нерівні частини за правилом золотого перерізу, для визначення наступного відрізку, що містить максимум.

Відрізок :

для :

,

аналогічно для :

.

Золотий переріз відрізку можна зробити за допомогою двох, симетрично розташованих точок:

де ,

Переріз називається золотим тому, що точка , в свою чергу, утворює золотий переріз відрізка , а точка - золотий переріз відрізка .

Умова закінчення пошуку – величина відрізку, що містить максимум, менший від заданої похибки.

Метод забезпечує більш швидку збіжність до рішення, ніж багато інших методів, і застосовується для одноекстремальних функцій.

Приклад 9.2

Маємо функцію:

,

де коефіцієнти: ; ; ; .

Знайти максимум на інтервалі . Похибка по : .

Для застосування методу знайдемо дві симетричні точки золотого перерізу для відрізку :

.

Відповідно значення критеріїв:

.

Отже, новим відрізком є , всередині якого знаходиться максимальне із знайдених значень . Точкою золотого перерізу для нового відрізку буде , а . В таблиці 9.3 наведені координати кращих точок при черговому кроці.

Таблиця 9.3

0,58359	0,99991	0,5836	0,9999
0,58359	0,99991	0,58359	0,99991
0,55920	0,99993	0,55920	0,99993

Отже було проведено 10 обчислень критерію оптимальності.

Метод параболічної апроксимації

Метод параболічної апроксимації полягає в заміні нелінійної функції квадратичною параболою , що побудована за трьома точками, які належать . Надалі знаходять максимум параболічної функції, використовуючи аналітичні умови оптимальності:

.

Спочатку обирають початкові точки:

.

В цих точках обчислюється , і за отриманими точками , , будується парабола:

,

коефіцієнти якої знаходять з рішення відповідної системи рівнянь:

.

Умова оптимальності:

,

де - точка максимуму параболи .

Далі обирається новий відрізок, всередині якого знаходиться точка . Використовуючи та , будується нова парабола, за якою уточнюється положення максимуму і т. д., доти, поки величина відрізку, всередині котрого знаходиться максимум, не буде менше заданої похибки .

Метод параболічної апроксимації має ітераційний характер. Можна будувати параболу на кожному кроці і за трьома останніми точками, але тільки у тому випадку, якщо точно відомо, що функція гладка та одноекстремальна.

Перевагою методу є висока швидкість збіжності до оптимумму, хоча метод не завжди збігається до нього.

Приклад 9.3

Маємо функцію:

,

де коефіцієнти: ; ; ; .

Знайти максимум на інтервалі . Похибка по : .

Перша апроксимуюча парабола будується за точками:

Запишемо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів параболи:

Рішенням системи є:

.

Знаходимо , при якому парабола має максимум:

,

При цьому . За цією точкою, а також за другою та третьою початковим точкам, що знаходяться по обидві сторони від точки максимуму параболи, аналогічно будується друга парабола, максимум якої знаходиться у точці , а . Різниця між двома точками максимуму менше заданої похибки, отже пошук закінчено. У цьому методі всього чотири рази обчислювався критерій оптимальності.