Контрольні питання

1. З яких етапів складається процес побудови емпіричних формул?

2. За допомогою яких функцій встановлюється вигляд емпіричної формули?

3. Суть методу найменших квадратів.

4. Чи можливо за допомогою методу найменших квадратів знайти параметри неполіноміальної апроксимуючої функції?

5. Принцип побудови емпіричних формул найпростіших лінійних залежностей.

6. Принцип побудови емпіричних формул квадратичних залежностей.

7. Принцип побудови емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей.

8. Як проводиться перевірка аналітичних критеріїв існування певної залежності для побудови емпіричної формули?

Практична робота № 6

Тема: Концепція чисельного інтегрування. Методи прямокутників та трапецій. Методи Сімпсона, Ньютона-Котеса, Чебишева, Гауса

Теоретичні відомості

Сутність чисельних методів інтегрування полягає в заміні підінтегральної функції на інтервалі інтегрування функцією з легко обумовленою первісною:

,

де - похибка обчислень.

Для зменшення похибки звичайно інтервал розбивають на малих відрізків. Точність інтерполяції на кожному відрізку виходить досить високою, а інтеграл визначають як суму інтегралів на цих відрізках.

Похибка чисельного інтегрування зменшується при збільшенні кількості розбиттів інтервалу: . Величину називають порядком методу. Однак при великій кількості інтервалів ( ) стає істотною похибка додавання, що накопичується. У цьому випадку вона може стати визначальною.

На практиці похибка чисельного інтегрування визначається шляхом подвійного інтегрування: з вихідним кроком (крок визначається шляхом рівномірного поділу відрізка на малих відрізків) і з кроком, збільшеним в два рази. Різниця обчислених значень інтегралів і визначає похибку.

Метод прямокутників

Основа цього методу - апроксимація підінтегральної функції на малих інтервалах постійним значенням (поліномом нульового ступеня). Криву на кожному малому інтервалі заміняють відрізком горизонтальної лінії, що перетинається з кривою в середині відрізка (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Ілюстрація методу прямокутників

Інтеграл обчислюється як сума площ прямокутників за формулою:

Метод прямокутників має другий порядок точності. Метод прямокутників не застосовується для функції, заданої набором дискретних значень (вузлів), оскільки вимагає визначення значень функції в серединах відрізків між вузлами.

Приклад 6.1

Обчислити для всього інтервалу та з поділом інтервалу на 4 частини, , , .

Розв’язок:

1. метод лівих прямокутників для всього інтервалу:

;

2. метод лівих прямокутників з поділом інтервалу на 4 частини , , , , , :

3. метод правих прямокутників для всього інтервалу:

;

4. метод правих прямокутників з поділом інтервалу на 4 частини , , , , , :

Метод трапецій

У цьому методі функцію, що інтегрується, на кожному малому інтервалі dx заміняють відрізком прямої, що з'єднує точки кривої на краях цього інтервалу (використовується поліном першого степеня). Інтеграл можна обчислити як суму площ трапецій (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Ілюстрація методу трапецій

Метод трапецій, як і метод прямокутників, має другий порядок точності, але дає приблизно в два рази більшу похибку, незважаючи на більш високий степінь апроксимуючої функції. Це пояснюється неоптимальністю принципу апроксимації.

Похибка обчислення інтеграла методом трапецій при використанні подвійного обчислення на практиці визначається виходячи із співвідношення:

,

де , – відповідно значення інтеграла при числі розбиттів i .

З використанням подвійного обчислення інтеграла можна організувати автоматичний підбір кроку інтегрування (тобто вибір кількості кроків) для забезпечення заданої похибки інтегрування.

Приклад 6.2

Обчислити для всього інтервалу та з поділом інтервалу на 4 частини, , , .

Розв’язок:

1. метод трапецій для всього інтервалу:

2. метод трапецій з поділом інтервалу на 4 частини, :