Завдання

Вирішити диференційне рівняння з початковою умовою на відрізку з кроком методом, заданим викладачем (табл. 7.5).

Таблиця 7.5

Ва-рі- ант	Диференційне рівняння	Ва- ріант	Диференційне рівняння
1	2	3	4
1		10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17

Продовження таблиці 7.5

1	2	3	4
9		18

Контрольні питання

1. Що є розв’язком диференційного рівняння?

2. До якої групи методів відноситься модифікований метод Ейлера?

3. У чому відмінність між однокроковими та багатокроковими методами?

4. Переваги однокрокових методів.

5. Недоліки однокрокових методів.

6. Скільки разів необхідно на кожному кроці обчислювати праву частину рівняння при використанні методу четвертого порядку?

7. Яким має бути крок в методі Рунге-Кутта?

8. Переваги багатокрокових методів.

9. За скільки етапів реалізується метод Мілна?

10. Переваги методу Мілна.

11. Недоліки методу Мілна.

Практична робота № 8

Тема: Крайові задачі. Метод стрільби. Кінцево-різницевий метод. Знаходження власних значень матриці

Теоретичні відомості

Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференційного рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення. Для рівняння -го порядку потрібно таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.

Прикладом крайової задачі є двоточкова крайова задача для звичайного диференційного рівняння другого порядку:

(8.1)

з граничними умовами, заданими на кінцях відрізку :

(8.2)

Потрібно знайти таке рішення на цьому відрізку, що приймає на кінцях відрізку значення . Якщо функція лінійна за аргументами , то задача (8.1), (8.2) – лінійна крайова задача, у протилежному випадку – нелінійна.

Крім граничних умов (8.2), що називаються граничними умовами першого роду, застосовуються ще умови на похідні від рішення на кінцях – граничні умови другого роду:

(8.3)

або лінійна комбінація рішень та похідних – граничні умови третього роду:

(8.4)

де - такі числа, що .

Можна на різних кінцях відрізку застосовувати умови різних типів.

Загальна класифікація методів вирішення крайових задач така ж, що і у випадку задачі Коші: існують точні, наближені і чисельні методи.

Розглянемо такі чисельні методи рішення крайової задачі:

- метод стрільби (пристрілювання);

- кінцево-різницевий метод.