Інтерполяція за методом Ньютона
Метод використовує поняття скінченних різниць. Нехай вузли інтерполяції рівновіддалені один від одного за аргументом, тобто виконується умова:
;
(
)
Різниці
називають
скінченними різницями першого порядку.
Різниці сусідніх скінченних різниць
першого порядку:
називаються скінченними різницями другого порядку. Аналогічно:
є скінченними різницями -го порядку.
Особливостями інтерполяції за методом Ньютона є:
при появі нового вузла додається лише новий член, решта не перераховується;
коефіцієнти швидко зменшуються із зростанням , бо у знаменнику міститься факторіал від .
На практиці часто зустрічаються випадки, коли вузли інтерполяції стають відомими не одразу, а поступово, один за одним, у міру, наприклад, процесу вимірювання. Тоді зручно побудувати процес інтерполяції у такий спосіб, щоб поява даних про новий вузол інтерполяції, призводила б до необхідності мінімального перерахунку попередніх обчислень. Саме таку властивість має інтерполяція за методом Ньютона.
Недоліками методу Ньютона можна вважати те, що: при збільшенні кількості вузлів процес обчислення скінченних різниць стає все більш обчислювально нестійким - похибка різко зростає зі збільшенням порядку скінченної різниці; а також необхідно, щоб вузли інтерполяції були рівновіддаленими один від одного за аргументом.
Приклад 4.2
Побудувати
інтерполяційний багаточлен Ньютона
четвертого ступеня для функції
в області значень аргументу
.
Заповнимо
таблицю 4.2 розділених різниць, що
обчислюються по п'ятьох вузлах,
представивши для зручності обчислень
.
Таблиця 4.2
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
-0,304 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
0,924 |
-0,868 |
-1,128 |
|
|
|
|
|
|
0,363 |
|
0,5 |
0,707 |
-1,296 |
-0,856 |
|
0,149 |
|
|
|
|
0,512 |
|
0,75 |
0,383 |
-1,532 |
-0,472 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
Поліном Ньютона
Обчислимо:
Точне
значення
,
тобто точність обчислень по наближеній
формулі виявилася дуже високою.
Інтерполяція сплайнами
Слово “сплайн” переводиться як “гнучка лінійка”. Таку лінійку можна використовувати для проведення кривих через задану сукупність точок, згинаючи і дотримуючи її так, щоб ребро проходило через усі точки на площині. Найбільше застосування мають сплайни, склеєні з поліномів третього степеня. Такі сплайни називають кубічними. Інтерполяція сплайнами нагадує інтерполяцію за Лагранжем тим, що потребує знання у вузлах тільки значень функції, а не її похідних. За областю застосування вона займає проміжкове положення між лінійною та нелінійною інтерполяцією за Лагранжем. Її доцільно застосовувати тоді, коли сітка недостатньо деталізована для інтерполяції багаточленом Ньютона, але ще не настільки рідка, щоб необхідно було застосовувати нелінійну інтерполяцію.
Задачу
інтерполяції функції кубічним сплайном
сформулюємо наступним чином. На відрізку
знаходимо функцію
,
яка задовольняє умовам:
- на
кожному з відрізків
є кубічним поліномом:
;
- функція неперервна на разом із своїми похідними до другого порядку включно, тобто:
;
- у вузлах
виконуються рівності:
.
Функцію , що задовольняє цим умовам, називають інтерполяційним кубічним сплайном.
Сплайн
на відрізку
має вигляд:
(4.2)
Система лінійних рівнянь для визначення невідомих параметрів в сплайн-функції має такий вигляд:
(4.3)
де
З останньої системи послідовно знаходимо:
(4.4)
Підставивши
значення
у формулу (4.2), одержимо вигляд кубічного
полінома на кожному з відрізків
,
тобто в явному вигляді матимемо на
відрізку
сплайн
,
інтерполюватиме задану таблично функцію
.
Зазначимо, що система (4.3) завжди має
розв’язок, тобто сплайн (4.2) існує.
Приклад 4.3
Побудувати
інтерполяційний кубічний сплайн для
функції
на відрізку
з вузлами
.
Нехай
значення функції
у
заданих вузлах дорівнюють
.
Сплайн шукатимемо у вигляді (4.2).
Враховуємо, що відстані
між вузлами сталі, тоді система рівнянь
для визначення невідомих параметрів
має вигляд:
Зауважимо,
що
.
З останньої системи послідовно знаходимо:
,
де
,
Обчисливши
значення
,
можна на кожному з відрізків
записати вигляд сплайна
.
У таблицю 4.3 внесено результати
інтерполяції даної функції побудованим
інтерполяційним кубічним сплайном,
інтерполяційним поліномом Лагранжа
двадцятого степеня з вузлами, що
збігаються з вузлами сплайна, і
інтерполяційним поліномом Лагранжа
третього степеня з вузлами
.
З таблиці видно, що інтерполяційний
кубічний сплайн має найменші відхилення
від точних значень заданої функції у
точках віж вузлами інтерполяції. Поблизу
точок
та
найменші похибки має інтерполяційний
поліном Лагранжа двадцятого степеня.
Таблиця 4.3
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
-0,975 |
0,04037 |
0,04047 |
-29,06340 |
0,051103 |
-0,875 |
0,04965 |
0,04962 |
2,17748 |
0,09812 |
-0,575 |
0,10793 |
0,10792 |
0,08806 |
0,20883 |
-0,275 |
0,34595 |
0,34554 |
0,34848 |
0,27374 |
0,025 |
0,98462 |
0,98332 |
0.98587 |
0,29283 |
0,225 |
0,44138 |
0,44052 |
0,44611 |
0,28001 |
0,525 |
0,12673 |
0,12674 |
0,08153 |
0,22283 |
0,725 |
0,07071 |
0,07072 |
0,85768 |
0,15920 |
Продовження таблиці 4.3
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,825 |
0,05551 |
0,05549 |
8,64833 |
0,11975 |
0,925 |
0,04466 |
0,04471 |
-197,9204 |
0,07521 |