Теоретичні відомості

Апроксимацією називається заміна деякої функції, заданої аналітично або таблично іншою функцією, близькою до початкової, але більш простою та зручною для обчислення.

При постановці задачі апроксимації виділяють дві проблеми:

апроксимація із заданою точністю;
знаходження найкращого наближення.

При виборі виду апроксимуючої залежності можуть мати місце наступні випадки. По-перше, значення функції можуть бути задані у досить великій кількості вузлів; по-друге, значення таблично заданої функції обтяжені похибками. Тоді проводити наближення функції за допомогою багаточлена недоцільно, тому що:

для великої кількості вузлів необхідно будувати декілька інтерполяційних багаточленів;
побудовані інтерполяційні багаточлени повторюють ті ж самі помилки, які властиві таблиці.

Тому шукають таку функцію , значення якої при досить близькі до табличних значень . Таку формулу називають емпіричною. Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення її найкращих параметрів.

Щоб встановити вигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами . Деякі з цих точок сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після чого візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Використовують найпростіші функції: лінійну, квадратичну, степеневу, показникову, логарифмічну.

Встановивши вигляд емпіричної формули, потрібно знайти її коефіцієнти. Одним з методів визначення коефіцієнтів емпіричної формули є метод найменших квадратів.

Побудова лінійної емпіричної формули

Нехай між даними існує лінійна залежність. Шукаємо емпіричну формулу у вигляді , де коефіцієнти та невідомі.

Одержуємо систему виду 5.1:

(5.1)

Розв’язавши відносно та систему (5.1), одержуємо:

, (5.2)

. (5.3)

Крім графічного, є ще аналітичний критерій виявлення лінійної залежності між значеннями та : , , .

Якщо , то залежність між та лінійна. Якщо , то між та існує приблизно лінійна залежність.

Приклад 5.1. Побудова лінійної емпіричної формули

Побудувати лінійну функцію для залежності, поданої таблично (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

	0,6	0,8	1,1	1,4	1,8	2,0
	0,194	0,603	1,213	1,788	2,621	2,981

Перевіримо залежність на лінійність: , , , , . Усі обчислення відрізняються одне від одного на величину, яка не перевищує 0,3. Отже, для даної залежності можна будувати лінійну емпіричну формулу. Для обчислення коефіцієнтів та за формулами (5.2) та (5.3) складемо таблицю 5.2.