Билет№24. Интегральная функция Лапласа:

Если вероятность p появления определенного события в каждом испытании постоянна, я число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А произойдет не менее m₁ и не более m₂ раз (m₁  m₂), приблизительно равна: P_n (m₁≤ m≤ m₂) ≈Φ(x₂)-Φ(x₁)

x₁= ; x₂=

Функция Φ(x) – интегральная функция Лапласа, которая определяется равенством:

Φ(x₁)=

Д ля значений функции Φ(x) существует специальная таблица, в которой можно найти значения этой функции лишь 0≤ x ≤ 5. Для x0 используют ту же таблицу, т. к. функция Φ(x) - непарная, т. е. Φ(-x)= -Φ(x). Для x >5 можно принять Φ(x)=0.5.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф() = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Билет №25.Интегральная теорема Лапласа

Пусть n_A число появления события А (число успехов) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p (не появится с вероятностью q=1-p). СВ n_A можно представить в виде суммы независимых СВ X₁, X₂,…,X_n таких, что X_i=1, если в i-м испытании событие наступило, и X_i=0 в противном случае, т.е.

Т.к. MX_i = p, DX_i = pq, то Mn_A = M ( ) = np,

Dn_A = D ( ) = npq, (т.к. СВ n_A имеет биномиальный закон распределения). Тогда Z_n= , представляет также сумму n независимых, одинаково распределенных СВ. При этом Z_n~N(1,0), MZ_n= DZ_n=

Св Z_n при большом числе n имеет приближенно нормальное распределение. Согласно свойствам нормального закона:P {z₁≤Z_n≤z₂} ≈ Φ (z₂)-Φ (z₁). Полагая

z₁= z₂=

можно записать двойное неравенство в эквивалентном виде k₁≤n_A≤k₂. Таким образом получаем: P {k₁≤n_A≤k₂} = Φ (z₂)-Φ (z₁), т.е.Интегральную формулу Лапласа

Если вероятность p появления определенного события в каждом испытании постоянна, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А произойдет не менее m₁ и не более m₂ раз (m₁  m₂), приблизительно равна: P_n (m₁≤ m≤ m₂) ≈Φ(x₂)-Φ(x₁)

x₁= ; x₂=

Интегральная теорема Лапласа P{ < x}→Φ(x), при n_A= , MX_i=p, DX_i=pq, тогда na=np,

Для подсчета сумм биномиальных вероятностей можно воспользоваться приближенной формулой:

где Ф(x)- функция Лапласа

№26. Чисельні характеристики розподілу Лапласа. Численные характеристики распределения Лапласа:

1) мат. ожидание М(Х) = np. Это значение мат. ожидания еще называют теоретическим значением математического ожидания;

2) дисперсия D(Х)= npq. Это значение дисперсии еще называют теоретическим значением дисперсии. Распределение Бернулли двухпараметрическое.

Мода М₀ – это возможное значение х_i случайной величины Х с максимальной вероятностью. М₀ = max P_n(k). как правило, ищем k, при котором вероятность наибольшая.

27. Различные формы интегральной теоремы Лапласа.

Р(А)=р, n – число испытаний; Р – гарантия (доверительная надежность). Р =  = 0,950,99. -относительная частота (статистическая вероятность).   . Чем больше , тем точнее результат.  . Разделим на : . Р = Ф +Ф =2Ф = .

1. - точность оценки.

p-E   p+E

чем меньше E, тем точнее результат

-E  -p  E

p=j – доверительная гарантия от 0,95 до 0,99

p(  E) = 2(x) = о

доверительный интервал

p-E p p+E

2. n=100

P=0,95