№67. Умовні диференціальні функції розподілу компонент двовимірної нормальної випадкової величини.

Розглянемо дискретну двовимірну випадкову величину Z=(X,Y). Можливі значення її компонент такі: x₁,x₂,…,x_m; y₁,y₂,…,y_n. Припустимо, що у результаті випробувння величина Y прийняла значення y₁ (Y=y₁), при цьому величина Х може мати одне із можливих значень: x₁,x₂,…,x_m. Позначимо умовну імовірність того, що Х=х_i, коли Y=y₁, через р(х_i / y₁) . У загальному випадку умовні ймовірності компоненти Х при умові, що , позначимо через р(х_i / y₁) (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), а умовні ймовірності компоненти Y при імові, що компонента – через . Умовним розподілом компоненти Х при називають сукупнусть умовних імовірностей в припущенні, що випадок вже настав. Аналогічно визначається умовний розподіл компоненти Y при . За законом розподілу двовимірної дискретної величини Z=(X,Y) можна скласти умовні закони розподілу компонент Х та Y: для Х: = . Для Y: = . Відмітимо, що сума ймовірностей умовного розподілу для кожної з компонент дорівнює одиниці. У випадку неперервного розподілу величини Z=(X,Y) зявляються умовні щільності розподілу компоненти Х, коли , та компоненти Y, коли .

Умовною щільністю ₁(хy) розподілу компоненти Х при значенні називають відношення щільності сумісного розподілу (x,y) системи (X,Y) до щільності розподілу ₂(y) компонети Y: . Аналогічно умовна щільність ₂(y/х) компоненти Y при значенні визначається за формулою: .

68. Условное матожидание и условное среднеквадратичное отклонение.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин:

,

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Аналогично определяются условная дисперсия, среднеквадратичное отклонение и условные моменты системы случайных величин.

№70. Генеральна сукупність. Її чисельні характеристики.

У матиматичній статистиці вивчаються закономірності, яким підкоряються масові випадкові явища. Для цього методами теорії ймовірностей проводиться обробка статистичних даних, тобто результатів досліджень. Задача математичної статистики полягає в створенні методів збору та обробки статистичних даних для отримання наукових іпрактичних висновків. Предметом математичної статистики є вивчення випадкових величин за результатами спостережень, дослідів, повторнх випробувань. Словом «сукупнісь» у статистиці називається множина обєктів, з яких добувається вибірка. Уся сукупність, що вивчається, називається генеральною сукупністю. Генеральну сукупність можна вивчати шляхом суцільного вивчення всіх обєктів або шдяхом спостереження за частиною обєктів. Частина обєктів,яку дістають з генеральної сукупності, називається вибіркою або вибірковою сукупністю. Повна кількість обєктів генеральної сукупності чи вибіркової сукупності називається їх обємом. Обєм генеральної сукупності позначають , а обєм вибіркової сукупності – n. Відбір обєктів може бути повторним або безповторним. Повторним називають відбір, коли відібраний обєкт повертають у генеральну сукупність (до відбору наступного обєкта). Безповторним називають відбір, коли відібраний обєкт не повертають у генеральну сукупність. Відбір обєктів відбувається випадковим чином. Якщо випадкова вибірка дотатньо повно характеризуєгенерельну сукупність, то вибірка називається репрезентативною. За вибіркою обчислюють і . Якщо одна з двох вибірок має меншу дисперсію, то вона повніше відображає генеральну сукупність. Наближене значення параметра генеральної сукупності, що обчислене за вибіркою, називається оцінкою параметра. Як правило, основними оцінками генеральної сукупності є середнє вибіркове , яке є аналогом матиматичного сподівання , і вибіркова дисперсія - аналог дисперсії . Нехай маємо параметр , а - його вибіркова оцінка. Для того, щоб оцінка ^ достатньо повно характеризувала параметр генеральної сукупності, необхідно, щоб вона мала наступні властивості: незміщенність, спроможність, ефективність. Оцінка параметра називається незміщеною, якщо її матиматичне сподівання дорівнює зажанному параметру, тобто: (наприклад, ). Оцінка називається спроможною, якщо вона при прямує за ймовірністю до параметра, який оцінюють, тобто: . Оцінка називається ефективною, якщо при заданому обємі досліджень вона має найменшу дисперсію.