74. Оценка математического ожидания.

Статистика, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности, называется её точной оценкой. То есть точечная оценка характеристики генеральной совокупности – это число, определяемое по выборке.

Пусть X₁,X₂,…,X_n – выборка из генеральной совокупности и . Тогда выборочное средние - несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания МХ.

Получаем, что - несмещенная оценка математического ожидания МХ.

Согласно теореме Чебышева, для любого 0 имеет место равенство

которое, согласно условию теоремы, можно записать

или

Из этого следует, что - состоятельная оценка МХ.

При нормальном распределении случайная величина Х эта оценка, то есть , будет эффективной. В качестве оценки математического ожидания также используют средние арифметическое .

В статистике оценку математического ожидания принято обозначать через .

№75. Оцінка дисперсії. Зміщенність цієї оцінки. Виправлена дисперсія.

За вибіркою обчислюють і . Наближене значення параметра генеральної сукупності, що обчислене за вибіркою, називається оцінкою параметра. Як правило, основними оцінками генеральної сукупності є середнє вибіркове , яке є аналогом матиматичного сподівання , і вибіркова дисперсія - аналог дисперсії . Для вибіркової дисперсії маємо формули: , або . Розрізняють дисперсії групову, внутрішньогрупову, міжгрупову та загальну.

Груповою дисперсією називають диспресію значень ознак, які належать групі, відносоно групової середньої: де - частота ознаки , j – номер групи, x_j – середнє групове j-ої групи, - обєм j-ої групи. Внутрішньогруповою дисперсією називають середнє арифметичне групових дисперсій, зважених обємами груп: , где , де - обєм j-ої групи. Міжгруповою дисперсією називають дисперсію групових середніх відносно загальної середньої: , де x_j – групове середнє j-ої групи, - загальне середнє, - обєм j-ої групи, . Загальною дисперсією називають дисперсію значень ознаки всієї сукупності відносно загального середнього: , де - частота значення , - загальне середнє, N - обєм всієї сукупності.

Виправлена дисперсія характеризується такою формулою: . Причому виправлена дисперсія не володіє властивістю дисперсії суми: . Інша формула виправленої дисперсії:

№76. Інтервальні оцінки. Довірчий інтервал. Точність та надійність оцінки.

Інтервальні оцінки використовують у тих випадках, коли точкові оцінки недостатньо точно відображають характеристику ознаки. Тоді ознаку, яку вивчають, покривають надійним інтервалом. Надійним інтервалом називається інтервал, що покриває всі значення випадкової величини з заданою ймовірністю або з заданим рівнем значущості. Визначимо надійний інтервал для математичного сподівання. Оскільки за теоремою Ляпунова при достатньо великій кількості дослідів усі закони зводяться до нормального, то при побудові надійного інтервалу можна припустити, що вибірка належить нормально розподіленій генеральній сукупності. Використовуючи теорему Лапласа для відхилень випадкової величини від свого математичного сподівання, отримаємо: . Нехай , тоді . Якщо за випадкову величину взяти та покласти , , то = . Тобто з надійністю Р= можна побудувати надійний інтервал: . Якщо генеральна сукупність обмежена, тоді треба зробити поправку на дисперсію і покласти , . Знайдемо надійний інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення випадкової величини. Візьмемо за випадкову величину середнє квадратичне відхилення S (S² – виправлена вибіркова дисперсія), тоді . За попередніми викладками маємо надійний інтервал х надійність Р= : , , , де . Значення величини q, яка залежить від заданої надійності та обєму вибірки, знаходять у спеціальних таблицях в підручниках з теорії ймовірностей. Вплив обєму вибірки і гарантії на точність оцінки: . При збільшенні гарантії точність зменшується. При збільшенні обєму вибірки точність збільшується (гарантія зменшується).