№89. Вибірковий коефіцієнт корреляції. Його властивості.

Другим параметром, який характеризує тісноту звязку в корреляційній залежності, є коефіцієнт корреляції: , . Якщо між фактором X і ознакою Y має місце лінійна залежність, то , якщо нелінійна, то . Знаки коефіцієнтів співпадають.

Властивості коефіцієнта такі, як і коефіцієнта : чим ближче до одиниці, тим сильніший звязок між фактором X і ознакою Y; чим ближче до нуля, тим звязок слабкіший. Коефіцієнт корреляції показує, на яку частину свого середнього квадратичного відхилення зміниться середнє значення функціональної ознаки Y, якщо фактор X збільшиться на своє середнє квадратичне відхилення

№90. Дисперсія помилок та дисперсія, зумовлена лінійною парною регресією. Коефіцієнт детермінації. Його властивості.

Виправлена дисперсія характеризується такою формулою: . Причому виправлена дисперсія не володіє властивістю дисперсії суми: . Інша формула виправленої дисперсії:

Запишемо внески детермінованої і випадкової частин, що складаються у відносних одиницях: . Відносний внесок розрахункових значень називається коефіцієнтом детермінації – він показує, яка частина повної мінливості (тобто ) пояснюється моделлю: .

Як і індекс детемінації, коефіцієнт детермінації приймає значення від 0 до 1: 0  R²  1.

При R²=1 маємо точний (функціональний) звязок (справді, R²=1 впливає , звідси всі невязки е дорівнюють нулю).

Проте, при R²=0 ще не можна зробити висновокпро відсутність корреляційного звязку.

Дійсно, при цьому і всі , тобто модель не вносить жодного внеску. В такому випадку говорять, що немає звязку означеного типу; але звідси ще не випливає, що немає звязку взагалі він може бути і може бути навіть функціональним.

№91 Дисперсійний аналіз вкладу дисперсії помилок та дисперсії, зумовленою регресією у повну дисперсію результативної ознаки.

Виправлена дисперсія характеризується такою формулою: . Причому виправлена дисперсія не володіє властивістю дисперсії суми: . Інша формула виправленої дисперсії:

.

Запишемо внески детермінованої і випадкової частин, що складаються у відносних одиницях: .

№92. Значимість лінійного корреляційного звязкуза критерієм Фішера-Снедекора.

Нехай маємо дві вибірки з генеральної сукупності, дисперсії яких , . Обчислимо критерій Фішера-Снедекора F: . Гіпотеза Н₀ полягає в тому, що різниця вважається незначущою. З таблиці критерію F знайдемо , де - число ступенів свободи більшої та меншої дисперсій,  - рівень значущості. Якщо F  , то з рівнем значущості  гіпотеза Н₀ відхиляється; якщо F  , то з надійністю 1- гіпотеза Н₀ приймається.

№94. Міжгрупова та внутрішньогрупова дисперсії.

Внутрішньогруповою дисперсією називають середнє арифметичне групових дисперсій, зважених обємами груп: ( ) , где , де - обєм j-ої групи.

Міжгруповою дисперсією називають дисперсію групових середніх відносно загальної середньої( ) , де x_j – групове середнє j-ої групи, - загальне середнє, - обєм j-ої групи, .

№95. Індекс детермінації та його властивості. Кореляційне відношення.

Известно, что

, - межгрупповая дисперсия; - внутригрупповая дисперсия. - индекс детерминации, который показывает, какя часть полной изменчивости y объясняется наличием любой корреляционной связи.

Корень квадратный из индекса детерминации называется корреляционным отношением: . Поскольку дисперсии – величины неотрицательные, то . Рассмотрим граничные случаи и . Если , то =0, откуда . Для любого значения аргумента среднее значение функции одинаковое , т.е. корреляционной связи нет.

Если , то ; тогда каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции (нет рассеяния точек в группах); такая связь называется функциональной. Таим образом, чем ближе к 1, тем ближе кореляционная связь к функциональной.