Билет№5. Условная вероятность. Теорема умножений вероятностей зависимых событий:

Условная вероятность Р_А(В)-вероятность события В вычисленного в предложении, что событие А уже наступило.

Теорема умножений вероятностей зависимых событий: Вероятность совместного появления 2 зависимых событий = произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого вычисленного в предложении ,что первое событие уже наступило.

Р (АВ_=Р(А)*Р_А(В)

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий = произведению одного из них на условной вероятности всех остальных, причем вероятность всех в предложении, что все предыдущие события уже появились:

Р (АВС)=Р(А)*Р(В)*Р(С)

Билет№6. Совместные события. Теорема сложения совместных событий:

2 события наз. совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и тоже испытании

Теорема сложения совместных событий:

Вероятность суммы 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления Р (А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Док-во: А и В совместные события.

А - может произойти, если произойдет или АВ

Р(А)=Р( )+Р(АВ)

Р ( )=Р(А)-Р(АВ)

Аналогично производим рассуждения относит. события В. В может произойти, если произойдет или АВ

Р(В)=Р( )+Р(АВ)

Р( )=Р(В)-Р(АВ)

Наступление события А+В может быть, если произойдут 3 события: , ,АВ Эти 3 события несовместные поэтому для них справедливо.

Р(А+В)=Р( )+Р( )+Р(АВ)

Р (А+В)=Р(А)+Р(В)-2Р(АВ)+Р(АВ)

Р (А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Билет №7. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий.

Вероятность появления хотя бы одного события из событий А₁,А₂,…,А_n, независимых совокупностей, = разности между 1 и произведением вероятности противоположных событий _1, 2, …, n. P (A) =1-q₁, q₂,…q_n

Частный случай: если события А₁,А₂,…,А_n имеют одинаковую вероятность, = р, то вероятность появления хотя бы 1 из этих событий = P(A)=1-qⁿ

Билет№8. Геометрическая вероятность события

Геометрическая вероятность события А называется отношение площади области D к площади области , т. е.P(A)

Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области и обе линейные или объемные. В 1 случае:P (A) =

Во 2 случае:P (A) =

Где l - длина,a V- объем соответствующей области.

Все 3 формулы можно записать в виде: P (A) =

Где через mes обозначается мера (S, l, V)области

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению:

1. Геометрическая вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е.0P(A)1

2. Геометрическая вероятность невозможного события =0, т.е. P () =0

3. Геометрическая вероятность достоверного события =1, т.е.P()=1

4. Геометрическая вероятность суммы несовместных событий = сумме вероятностей этих событий, т.е. если A*B=, то P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример: 2 чел. Договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин., после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.

П усть x- время прихода первого, а второго- y. Возможные значения x и y: 0 x 60, 0 y 60 (в качестве ед. масштаба возьмем мин.), которые на плоскости Oxy определяет квадрат со стороной, раной 60. Точки этого квадрата изображают время встречающихся.

Тогда  =(x, y):0 x60; 0 y60; все исходы равно возможны, т.к лица приходят наудачу. Событие А – лица встретятся – произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более15 мин. (по модулю), т.е. А=(x, y):  15. Неравенство  15, т.е. x-15yx+15 определяет область, заштрихованную на рис., т.е. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Искомая вероятность определяется по формуле:

P (A) =