№56. Звязок між диференціальною і інтегральною функціями розподілу.

1) ;

2). ;

3). ;

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то .

№57. Звязок між інтегральною і диференціальною функціями розподілу.

1) ;

2). ;

3). ;

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то .

58. Вероятность попадания в полосу и прямоугольник.

Обозначим Z=xy двумерную случайную величину. Каждую из величин x и y приведем компонентами или составляющими.

Функция распределения двумерной случайной величины (X ,Y) (дискретной или непрерывной) называют функцию F(x,y), которая для каждой пары чисел x,y определяет вероятность того, что X принимает значение меньше, чем x, при этом Y – меньше, чем y: F(x,y)=P(X<x,Y<y).

Геометрически это равенство можно растолковать: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в прямоугольник с вершиной (x,y), который находится левее и ниже этой вершины.

P(x₁x<x₂) (y₁y<y₂)=F(x₂;y₂)-F(x₂;y₁)+F(x₁;y₁).

№59. Звязок між інтегральною функцією двовимірної неперервної випадкової величини та її компонентами.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1). .

2). .

3). .

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то .

№60. Звязок між диференціальною функцією двовимірної неперервної випадкової величини та її компонентами.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1). .

2). .

3). .

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то .

№61. Чисельні характеристики двовимірної неперервної випадкової величини.

Для двовимірної випадкової величини Z=(X,Y) можна знайти матиматичне сподівання і дисперсію кожної компоненти: , , , . Однак ці характеристики недостатньо повно характеризують величину Z, тому що не відтворюють ступінь залежності між компонентами. Цю роль виконують корреляційний момент і коефіцієнт кореляції . Корреляційним моментом випадкових величин Х і  називають матиматичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних сподівань: . Для обчислення коореляційного моменту неперервних величин використовують формулу: .

Коефіцієнтом корреляції випадкових величин Х і  називають відношення корреляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин: . Коефіцієнт корреляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю і становить безрозмірну величину.