№62. Умовне матиматичне сподівання двовимірної неперервної випадкової величини.

Умовним математичним сподіванням неперервної випадкової величини Y при називають інтеграл добутку можливих значень компоненти Y на їх умовну щільність: . Умовне матиматичне сподівання є інтеграл: .

№63. Незалежні та залежні компоненти двовимірної дискретної випадкової випадкової величини.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумернойслучайной величиной. Рассматриваются как дискретные, так и непрерывные случайные величины. Если обе компоненты XY дискретны, то и двумерная случайная величина называется дискретной.

Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Также рассматриваются смешанные двумерные случайные величины.

Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: .

Геометрически эту вероятность можно описать так: F(x,y) - это вероятность того, что случайная точка (XY) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), который находится влево и ниже этой вершины.

Для независимых случайных величин Х₁,Х₂,…Х_n функция распределения n - мерной случайной величины Х равна произведению функций распределения случайных величин Х₁,Х₂,…Х_n: .

Это условие может быть положено в основу определения независимости случайных величин. Если - дискретная случайная величина, то для независимых случайных величин имеем: Р(Х₁=х₁,Х₂=х₂,… Х_n=x_n)=Р(Х₁=х₁)Р(Х₂=х₂)…Р(Х_n=x_n).

№64. Незалежні та залежні компоненти двовимірної неперервної випадкової випадкової величини.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту вероятность можно описать так: F(x, y) - это вероятность того, что случайная точка (XY) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), который находится влево и ниже этой вершины. Для независимых случайных величин Х₁,Х₂,…Х_n функция распределения n - мерной случайной величины Х равна произведению функций распределения случайных величин Х₁,Х₂,…Х_n: . Это условие может быть положено в основу определения независимости случайных величин. Если - непрерывная случайная величина, то для независимых случайных величин имеем: = .

63(105) Корреляционный момент. Его свойства

Определение. Корреляционным моментом _xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Корреляційний момент має такі властивості: 1). - властивість симетричності.

2). , якщо X і Y – незалежні величини.

3). . Корреляційний момент має розмірність, яка дорівнює добутку розмірностей величин X і Y.