30. Численные характеристики распределения Пуассона. Мода.

Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k:

α_k=M(X^k).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

α₁=M(X)=a.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]^k:

μ_k=M[X-M(X)]^k.

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

μ₁=М[X-M(X)]=0,

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

μ₂=M[X-M(X)]²=a.

Мода М₀ – это возможное значение х_i случайной величины Х с максимальной вероятностью. Для Пуассона мода имеет вид: -1    .

31. Простейший (пуассоновский) поток событий.

Потоком событий называется последовательность однородных случайных независимых событий, происходящих в определенный момент времени.

Поток событий называется Пуассоновским, если он обладает следующими свойствами:

1. Стационарность. Вероятность того, что на отрезок данной длины попадает данное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси.

2. Ординарность. вероятность появления события А более 2-х раз на достаточно малом промежутке, равном нулю. Р_t(k2)=0.

3. Свойство без последействия. Вероятность того, что на данный отрезок попало определенное количество точек не зависит от того, сколько точек в результате проведенной бесконечно серии испытаний попало на отрезок, не пересекающийся с данным.

Формула простейшего Пуассоновского потока:

Поток для  - интенсивность потока (количество событий, которые появляются в единицу времени для данного потока).

32. Непрерывная случайная величина. Примеры.

Событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0. Это означает, что в данной конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

P(aЈX<b)=P(aЈXЈb)=F(b)-F(a)

Вероятностные свойства непрерывной случайной величины задаются одной из двух функций - плотностью распределения либо плотностью вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины является число: