№53. Умовний розподіл двовимірної випадкової величини та його чисельні характеристики.

Розглянемо дискретну двовимірну випадкову величину Z=(X,Y). Можливі значення її компонент такі: x₁,x₂,…,x_m; y₁,y₂,…,y_n. Припустимо, що у результаті випробувння величина Y прийняла значення y₁ (Y=y₁), при цьому величина Х може мати одне із можливих значень: x₁,x₂,…,x_m. Позначимо умовну імовірність того, що Х=х_i, коли Y=y₁, через р(х_i / y₁) . У загальному випадку умовні ймовірності компоненти Х при умові, що , позначимо через р(х_i / y₁) (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), а умовні ймовірності компоненти Y при імові, що компонента – через .

Умовним розподілом компоненти Х при називають сукупнусть умовних імовірностей в припущенні, що випадок вже настав. Аналогічно визначається умовний розподіл компоненти Y при . За законом розподілу двовимірної дискретної величини Z=(X,Y) можна скласти умовні закони розподілу компонент Х та Y: для Х: = . Для Y: = . Відмітимо, що сума ймовірностей умовного розподілу для кожної з компонент дорівнює одиниці. У випадку неперервного розподілу величини Z=(X,Y) зявляються умовні щільності розподілу компоненти Х, коли , та компоненти Y, коли .

Умовною щільністю ₁(хy) розподілу компоненти Х при значенні називають відношення щільності сумісного розподілу (x,y) системи (X,Y) до щільності розподілу ₂(y) компонети Y: . Аналогічно умовна щільність ₂(y/х) компоненти Y при значенні визначається за формулою: .

№54. Двовимірна неперервна випадкова величина. Інтегральна функція розподілу, її властивості.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту вероятность можно описать так: F(x, y) - это вероятность того, что случайная точка (XY) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), который находится влево и ниже этой вершины.

55. Двумерные непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения, её свойства.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту вероятность можно описать так: F(x, y) - это вероятность того, что случайная точка (XY) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), который находится влево и ниже этой вершины. Плотностью115 распределения вероятностей двумерной случайной непрерывной величины называется вторая смешанная производная функции распределения : . Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1). .

2). .

3). .

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то .